Номер 2, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) ${ \{1, 5\} \cap \{5\} = \{1\} }$;

2) ${ \{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\} }$;

3) ${ \{1, 5\} \cap \emptyset = \emptyset }$;

4) ${ \{1, 5\} \cup \emptyset = \{1, 5\} }$;

5) ${ \{1, 5\} \cap \emptyset = \{1, 5\} }$;

6) ${ \{1, 5\} \setminus \{1\} = \{1\} }$.

1) Пересечение множеств (знак $\cap$) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам, и только их. В множествах $\{1, 5\}$ и $\{5\}$ общим элементом является только $5$. Следовательно, верным равенством было бы $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}$. Данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) Исходя из определения операции пересечения, данным в предыдущем пункте, общим элементом для множеств $\{1, 5\}$ и $\{5\}$ является элемент $5$. Следовательно, утверждение $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}$ является верным.
Ответ: верно.

3) Пустое множество ($\varnothing$) не содержит никаких элементов. Поэтому при пересечении любого множества с пустым множеством не может быть общих элементов. Результатом такой операции всегда будет пустое множество. Утверждение $\{1, 5\} \cap \varnothing = \varnothing$ является верным.
Ответ: верно.

4) Объединение множеств (знак $\cup$) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. При объединении множества $\{1, 5\}$ с пустым множеством ($\varnothing$) итоговое множество будет содержать все элементы из $\{1, 5\}$, так как пустое множество не добавляет новых элементов. Утверждение $\{1, 5\} \cup \varnothing = \{1, 5\}$ является верным.
Ответ: верно.

5) Как было указано в пункте 3, пересечение любого множества с пустым множеством равно пустому множеству. Утверждение $\{1, 5\} \cap \varnothing = \{1, 5\}$ неверно.
Ответ: неверно.

6) Разность множеств $A \setminus B$ (или $A - B$) — это операция, результатом которой является множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$. В данном случае из множества $\{1, 5\}$ нужно удалить элементы, которые есть в множестве $\{1\}$. Таким элементом является $1$. В результате останется множество $\{5\}$. Утверждение $\{1, 5\} \setminus \{1\} = \{1\}$ неверно.
Ответ: неверно.