Номер 3, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x - 1} = x - 2;$

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7;$

3) $\text{ctg}5x\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0.$

1) $\sqrt{2x - 1} = x - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств, так как подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = (x - 2)^2$

$2x - 1 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 2$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 2$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Ответ: $5$.

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ и основным тригонометрическим тождеством, представив $7$ как $7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$:

$8\sin^2 2x + 3(2\sin 2x \cos 2x) = 7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$

$8\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x = 7\sin^2 2x + 7\cos^2 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные. В результате получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:

$\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x - 7\cos^2 2x = 0$

Проверим случай, когда $\cos 2x = 0$. Если это так, то $\sin^2 2x = 1$, и уравнение принимает вид $1 + 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 2x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} + \frac{6\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{7\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$\tan^2 2x + 6\tan 2x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan 2x$. Получим квадратное уравнение $t^2 + 6t - 7 = 0$. Его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Вернемся к исходной переменной:

а) $\tan 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 2x = -7 \implies 2x = \arctan(-7) + \pi k \implies x = -\frac{1}{2}\arctan(7) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$; $-\frac{1}{2}\arctan(7) + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\operatorname{ctg}5x\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0$

ОДЗ уравнения определяется условием существования котангенса: $\sin 5x \ne 0$, что означает $5x \ne \pi k$, или $x \ne \frac{\pi k}{5}$ для любого целого $k$.

Преобразуем уравнение, используя определение котангенса $\operatorname{ctg}5x = \frac{\cos 5x}{\sin 5x}$:

$\frac{\cos 5x}{\sin 5x}\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0$

Умножим все члены уравнения на $\sin 5x$ (который не равен нулю в ОДЗ):

$\cos 5x \cos x + \sin 5x \sin x - \sqrt{2}\cos 4x \sin 5x = 0$

Первые два слагаемых представляют собой формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(5x - x) - \sqrt{2}\cos 4x \sin 5x = 0$

$\cos 4x - \sqrt{2}\cos 4x \sin 5x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 4x$ за скобки:

$\cos 4x (1 - \sqrt{2}\sin 5x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$, где $m \in \mathbb{Z}$. Данная серия корней не противоречит ОДЗ.

б) $1 - \sqrt{2}\sin 5x = 0 \implies \sin 5x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решения этого уравнения имеют вид $5x = (-1)^j \frac{\pi}{4} + \pi j \implies x = \frac{(-1)^j\pi}{20} + \frac{\pi j}{5}$, где $j \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$; $x = \frac{(-1)^j\pi}{20} + \frac{\pi j}{5}$, где $m, j \in \mathbb{Z}$.