Номер 5, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 2$ является точкой максимума функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} - 3ax^2 + a^2x$?

Для того чтобы точка $x_0 = 2$ являлась точкой максимума функции $f(x)$, должны выполняться два условия:

1. Необходимое условие: производная функции в этой точке должна быть равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.
2. Достаточное условие: производная должна менять знак с плюса на минус при переходе через эту точку, либо вторая производная в этой точке должна быть отрицательной, то есть $f''(x_0) < 0$.

1. Нахождение первой производной и применение необходимого условия

Найдем первую производную функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} - 3ax^2 + a^2x$:

$f'(x) = (\frac{ax^3}{3})' - (3ax^2)' + (a^2x)' = \frac{a}{3} \cdot 3x^2 - 3a \cdot 2x + a^2 = ax^2 - 6ax + a^2$.

Применим необходимое условие экстремума в точке $x_0 = 2$, то есть приравняем производную в этой точке к нулю: $f'(2) = 0$.

$a \cdot (2)^2 - 6a \cdot 2 + a^2 = 0$

$4a - 12a + a^2 = 0$

$a^2 - 8a = 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a - 8) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения параметра: $a_1 = 0$ и $a_2 = 8$.

2. Проверка достаточного условия для каждого найденного значения $a$

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, то исходная функция принимает вид $f(x) = \frac{0 \cdot x^3}{3} - 3 \cdot 0 \cdot x^2 + 0^2 \cdot x = 0$.

Функция $f(x) = 0$ является постоянной. Для такой функции любая точка является одновременно и точкой нестрогого максимума, и точкой нестрогого минимума. Однако, поскольку производная $f'(x) = 0$ для любого $x$, она не меняет свой знак, следовательно, точка $x_0=2$ не является точкой экстремума в строгом смысле. Обычно такие вырожденные случаи исключаются. Поэтому значение $a = 0$ не подходит.

Случай 2: $a = 8$

При $a=8$ первая производная имеет вид: $f'(x) = 8x^2 - 48x + 64$.

Для проверки достаточного условия найдем вторую производную от исходной функции:

$f''(x) = (f'(x))' = (ax^2 - 6ax + a^2)' = 2ax - 6a$.

Теперь подставим значения $a = 8$ и $x = 2$ в выражение для второй производной:

$f''(2) = 2 \cdot 8 \cdot 2 - 6 \cdot 8 = 32 - 48 = -16$.

Поскольку $f''(2) = -16 < 0$, согласно достаточному условию экстремума, точка $x_0 = 2$ является точкой максимума при $a=8$.

Ответ: $a = 8$.