Номер 1, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1) $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать знак производной функции.

1. Находим область определения функции. Так как функция является многочленом, область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - x^2 - 5x - 3)' = 3x^2 - 2x - 5$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 2x - 5 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

4. Критические точки $x = -1$ и $x = 5/3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5/3)$ и $(5/3, +\infty)$. Определим знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов. Графиком производной является парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• При $x \in (-1, 5/3)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• При $x \in (5/3, +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

5. Определяем точки экстремума. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 5/3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[5/3, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 5/3]$. Точка максимума $x_{max} = -1$, точка минимума $x_{min} = 5/3$.

2) $f(x) = x\sqrt{9 - x}$

1. Находим область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$9 - x \ge 0 \implies x \le 9$.

Область определения: $D(f) = (-\infty, 9]$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)'\sqrt{9-x} + x(\sqrt{9-x})' = 1 \cdot \sqrt{9-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \cdot (9-x)' = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(\sqrt{9-x})^2 - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{2(9-x) - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 2x - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 3x}{2\sqrt{9-x}}$.

3. Находим критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:

$18 - 3x = 0 \implies 3x = 18 \implies x = 6$.

Производная не определена, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{9-x} = 0 \implies 9 - x = 0 \implies x = 9$.

Обе точки, $x=6$ и $x=9$, принадлежат области определения функции.

4. Критическая точка $x=6$ и граница области определения $x=9$ разбивают область определения на два интервала: $(-\infty, 6)$ и $(6, 9)$. Определим знак производной на этих интервалах. Знаменатель $2\sqrt{9-x}$ всегда положителен при $x < 9$, поэтому знак производной зависит от знака числителя $18 - 3x$.

• При $x \in (-\infty, 6)$, числитель $18 - 3x > 0$, значит $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает.
• При $x \in (6, 9)$, числитель $18 - 3x < 0$, значит $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает.

5. В точке $x = 6$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. Точка $x=9$ является граничной точкой области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 6]$, убывает на промежутке $[6, 9]$. Точка максимума $x_{max} = 6$.

3) $f(x) = \sqrt{3}x - 2\cos x$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{3}x - 2\cos x)' = \sqrt{3} - 2(-\sin x) = \sqrt{3} + 2\sin x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$\sqrt{3} + 2\sin x = 0 \implies 2\sin x = -\sqrt{3} \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями этого тригонометрического уравнения являются серии точек:

$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые числовую прямую разбивают критические точки. Знак $f'(x)$ зависит от того, больше или меньше $\sin x$ значения $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$f'(x) > 0 \implies \sqrt{3} + 2\sin x > 0 \implies \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$. На этих интервалах функция возрастает.

$f'(x) < 0 \implies \sqrt{3} + 2\sin x < 0 \implies \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$. На этих интервалах функция убывает.

5. Определяем точки экстремума.

• В точках вида $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точки максимума.
• В точках вида $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума $x_{max} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.