Номер 2, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = x^2 |x - 3|$ на промежутке $[-1; 4]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2|x - 3|$ на промежутке $[-1; 4]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть модуль в выражении функции. Выражение $|x-3|$ меняет знак в точке $x=3$.

Если $x \ge 3$, то $|x-3| = x-3$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2(x-3) = x^3 - 3x^2$.

Если $x < 3$, то $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2(3-x) = 3x^2 - x^3$.

Таким образом, на заданном промежутке $[-1; 4]$ функцию можно представить в виде:

$f(x) = \begin{cases} 3x^2 - x^3, & \text{если } x \in [-1; 3) \\ x^3 - 3x^2, & \text{если } x \in [3; 4] \end{cases}$

2. Найти критические точки функции. Для этого найдем ее производную на каждом из интервалов и приравняем ее к нулю. Также критической является точка, в которой производная не существует.

На интервале $(-1; 3)$ имеем: $f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю: $6x - 3x^2 = 0 \implies 3x(2-x)=0$. Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат интервалу $(-1; 3)$.

На интервале $(3; 4)$ имеем: $f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x-2)=0$. Корни $x=0$ и $x=2$ не принадлежат интервалу $(3; 4)$, поэтому на этом интервале нет критических точек, где производная равна нулю.

Точка $x=3$ является точкой "стыка" двух выражений функции. В таких точках производная может не существовать, поэтому она также является критической точкой.

3. Вычислить значения функции в найденных критических точках ($0, 2, 3$) и на концах заданного промежутка ($-1, 4$).

• $f(-1) = (-1)^2 |-1-3| = 1 \cdot |-4| = 4$
• $f(0) = 0^2 |0-3| = 0 \cdot 3 = 0$
• $f(2) = 2^2 |2-3| = 4 \cdot |-1| = 4$
• $f(3) = 3^2 |3-3| = 9 \cdot 0 = 0$
• $f(4) = 4^2 |4-3| = 16 \cdot 1 = 16$

4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Полученные значения: $0, 4, 16$.

Наибольшее значение функции на промежутке $[-1; 4]$ равно 16.

Наименьшее значение функции на промежутке $[-1; 4]$ равно 0.

Ответ: Наибольшее значение функции $f_{наиб} = 16$, наименьшее значение функции $f_{наим} = 0$.