Страница 114 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9

Применение производной

1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$;

2) $f(x) = x\sqrt{9-x}$;

3) $f(x) = \sqrt{3x - 2\cos x}$.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = x^2 |x - 3|$ на промежутке $[-1; 4]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2|x - 3|$ на промежутке $[-1; 4]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть модуль в выражении функции. Выражение $|x-3|$ меняет знак в точке $x=3$.

Если $x \ge 3$, то $|x-3| = x-3$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2(x-3) = x^3 - 3x^2$.

Если $x < 3$, то $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2(3-x) = 3x^2 - x^3$.

Таким образом, на заданном промежутке $[-1; 4]$ функцию можно представить в виде:

$f(x) = \begin{cases} 3x^2 - x^3, & \text{если } x \in [-1; 3) \\ x^3 - 3x^2, & \text{если } x \in [3; 4] \end{cases}$

2. Найти критические точки функции. Для этого найдем ее производную на каждом из интервалов и приравняем ее к нулю. Также критической является точка, в которой производная не существует.

На интервале $(-1; 3)$ имеем: $f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю: $6x - 3x^2 = 0 \implies 3x(2-x)=0$. Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат интервалу $(-1; 3)$.

На интервале $(3; 4)$ имеем: $f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x-2)=0$. Корни $x=0$ и $x=2$ не принадлежат интервалу $(3; 4)$, поэтому на этом интервале нет критических точек, где производная равна нулю.

Точка $x=3$ является точкой "стыка" двух выражений функции. В таких точках производная может не существовать, поэтому она также является критической точкой.

3. Вычислить значения функции в найденных критических точках ($0, 2, 3$) и на концах заданного промежутка ($-1, 4$).

• $f(-1) = (-1)^2 |-1-3| = 1 \cdot |-4| = 4$
• $f(0) = 0^2 |0-3| = 0 \cdot 3 = 0$
• $f(2) = 2^2 |2-3| = 4 \cdot |-1| = 4$
• $f(3) = 3^2 |3-3| = 9 \cdot 0 = 0$
• $f(4) = 4^2 |4-3| = 16 \cdot 1 = 16$

4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Полученные значения: $0, 4, 16$.

Наибольшее значение функции на промежутке $[-1; 4]$ равно 16.

Наименьшее значение функции на промежутке $[-1; 4]$ равно 0.

Ответ: Наибольшее значение функции $f_{наиб} = 16$, наименьшее значение функции $f_{наим} = 0$.

3. Найдите такое положительное число, что разность между утроенным квадратом этого числа и его удвоенным кубом принимает наибольшее значение.

Пусть искомое положительное число — это $x$. По условию, $x > 0$.

Утроенный квадрат этого числа равен $3x^2$.

Удвоенный куб этого числа равен $2x^3$.

Разность между утроенным квадратом и удвоенным кубом можно представить в виде функции $f(x)$: $f(x) = 3x^2 - 2x^3$

Нам нужно найти такое значение $x > 0$, при котором функция $f(x)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдем производную функции и определим ее критические точки.

Найдем первую производную $f'(x)$: $f'(x) = (3x^2 - 2x^3)' = 3 \cdot 2x - 2 \cdot 3x^2 = 6x - 6x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6x - 6x^2 = 0$ $6x(1 - x) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $x = 0$ и $x = 1$.

Поскольку по условию задачи требуется найти положительное число, корень $x = 0$ не рассматриваем. Остается одна критическая точка $x = 1$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную функции: $f''(x) = (6x - 6x^2)' = 6 - 12x$

Вычислим значение второй производной в точке $x = 1$: $f''(1) = 6 - 12 \cdot 1 = -6$

Так как $f''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале $(0, \infty)$ и на бесконечности функция стремится к $-\infty$, то в этой точке достигается наибольшее значение функции.

Ответ: 1

4. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$ и постройте её график.

Для исследования функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ и построения её графика выполним следующие шаги:

Функция $f(x) = x^3 - 3x^2$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Проверим функцию на четность, найдя $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x) = -(x^3 - 3x^2) = -x^3 + 3x^2$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Функция не является периодической.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

С осью ординат (Oy): для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

С осью абсцисс (Ox): для этого решим уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Вертикальные асимптоты: так как функция определена на всей числовой прямой и непрерывна, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальные и наклонные асимптоты: исследуем поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - \frac{3}{x}) = +\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 - \frac{3}{x}) = -\infty$.

Поскольку пределы не являются конечными числами, горизонтальные асимптоты отсутствуют. Для наклонной асимптоты $y=kx+b$ найдем $k$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3x) = +\infty$.

Так как предел для $k$ бесконечен, наклонные асимптоты также отсутствуют.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения:

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $f_{max} = f(0) = 0$. Точка максимума: $(0; 0)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $f_{min} = f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$. Точка минимума: $(2; -4)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ и убывает на $[0; 2]$. Точка максимума $(0; 0)$, точка минимума $(2; -4)$.

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $6x - 6 = 0 \implies x = 1$.

Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$:

• При $x \in (-\infty; 1)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
• При $x \in (1; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз.

Поскольку в точке $x=1$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдем её координаты: $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 = 1 - 3 = -2$. Точка перегиба: $(1; -2)$.

Ответ: График функции является выпуклым вверх на $(-\infty; 1)$ и выпуклым вниз на $(1; +\infty)$. Точка перегиба $(1; -2)$.

На основе проведенного анализа отметим ключевые точки и построим эскиз графика функции.

Ключевые точки:

• Пересечение с осями: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.
• Точка максимума: $(0; 0)$.
• Точка минимума: $(2; -4)$.
• Точка перегиба: $(1; -2)$.

График функции $f(x) = x^3 - 3x^2$:

Ответ: График функции построен.

5. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 2$ является точкой максимума функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} - 3ax^2 + a^2x$?

Для того чтобы точка $x_0 = 2$ являлась точкой максимума функции $f(x)$, должны выполняться два условия:

1. Необходимое условие: производная функции в этой точке должна быть равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.
2. Достаточное условие: производная должна менять знак с плюса на минус при переходе через эту точку, либо вторая производная в этой точке должна быть отрицательной, то есть $f''(x_0) < 0$.

1. Нахождение первой производной и применение необходимого условия

Найдем первую производную функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} - 3ax^2 + a^2x$:

$f'(x) = (\frac{ax^3}{3})' - (3ax^2)' + (a^2x)' = \frac{a}{3} \cdot 3x^2 - 3a \cdot 2x + a^2 = ax^2 - 6ax + a^2$.

Применим необходимое условие экстремума в точке $x_0 = 2$, то есть приравняем производную в этой точке к нулю: $f'(2) = 0$.

$a \cdot (2)^2 - 6a \cdot 2 + a^2 = 0$

$4a - 12a + a^2 = 0$

$a^2 - 8a = 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(a - 8) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения параметра: $a_1 = 0$ и $a_2 = 8$.

2. Проверка достаточного условия для каждого найденного значения $a$

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, то исходная функция принимает вид $f(x) = \frac{0 \cdot x^3}{3} - 3 \cdot 0 \cdot x^2 + 0^2 \cdot x = 0$.

Функция $f(x) = 0$ является постоянной. Для такой функции любая точка является одновременно и точкой нестрогого максимума, и точкой нестрогого минимума. Однако, поскольку производная $f'(x) = 0$ для любого $x$, она не меняет свой знак, следовательно, точка $x_0=2$ не является точкой экстремума в строгом смысле. Обычно такие вырожденные случаи исключаются. Поэтому значение $a = 0$ не подходит.

Случай 2: $a = 8$

При $a=8$ первая производная имеет вид: $f'(x) = 8x^2 - 48x + 64$.

Для проверки достаточного условия найдем вторую производную от исходной функции:

$f''(x) = (f'(x))' = (ax^2 - 6ax + a^2)' = 2ax - 6a$.

Теперь подставим значения $a = 8$ и $x = 2$ в выражение для второй производной:

$f''(2) = 2 \cdot 8 \cdot 2 - 6 \cdot 8 = 32 - 48 = -16$.

Поскольку $f''(2) = -16 < 0$, согласно достаточному условию экстремума, точка $x_0 = 2$ является точкой максимума при $a=8$.

Ответ: $a = 8$.