Страница 119 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства

1. Постройте график функции $y = \left( \left( x^2 - 4 \right)^{-\frac{1}{5}} \right)^{-5}$.

Для построения графика функции $y = \left( (x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \right)^{-5}$ проведем ее полное исследование.

1. Упрощение выражения и нахождение области определения

Сначала упростим данную функцию, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $y = \left( (x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \right)^{-5} = (x^2 - 4)^{\frac{1}{5} \cdot (-5)} = (x^2 - 4)^{-1} = \frac{1}{x^2 - 4}$.

Теперь найдем область определения (ОДЗ). В исходной функции $y = \left( (x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \right)^{-5}$ корень пятой степени (показатель $\frac{1}{5}$) определен для любого значения выражения $x^2 - 4$. Однако, последующее возведение в отрицательную степень $(-5)$ требует, чтобы основание не было равно нулю. То есть, $(x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \neq 0$, что равносильно $x^2 - 4 \neq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$:
$(x-2)(x+2) = 0$
$x_1 = 2, x_2 = -2$.

Следовательно, из области определения исключаются точки $x = 2$ и $x = -2$.
Область определения функции $D(y)$: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
Эта область определения совпадает с областью определения упрощенной функции $y = \frac{1}{x^2 - 4}$, поэтому дальнейшее исследование можно проводить для нее.

2. Исследование на четность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 4} = \frac{1}{x^2 - 4} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY:
Полагаем $x = 0$: $y(0) = \frac{1}{0^2 - 4} = -\frac{1}{4} = -0.25$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -0.25)$.

Пересечение с осью OX:
Полагаем $y = 0$: $\frac{1}{x^2 - 4} = 0$. Данное уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, а он равен 1. Следовательно, график функции не пересекает ось OX.

4. Нахождение асимптот графика

Вертикальные асимптоты:
Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. В нашем случае это точки, где знаменатель равен нулю: $x = -2$ и $x = 2$. Прямые $x = -2$ и $x = 2$ являются вертикальными асимптотами.

Горизонтальная асимптота:
Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 4} = 0$. Следовательно, прямая $y = 0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

5. Исследование на монотонность и экстремумы

Найдем первую производную функции: $y' = \left(\frac{1}{x^2 - 4}\right)' = \left((x^2 - 4)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x^2 - 4)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 - 4)^2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $-\frac{2x}{(x^2 - 4)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной определяется знаком числителя $-2x$.

• При $x \in (-\infty; -2)$ и $x \in (-2; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$ и $x \in (2; +\infty)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x = 0$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = -0.25$. Точка максимума: $(0; -0.25)$.

6. Построение графика

Соберем все полученные данные и построим график:

1. Проводим оси координат и асимптоты: вертикальные прямые $x = -2$, $x = 2$ и горизонтальную прямую $y = 0$.
2. Отмечаем точку локального максимума $(0; -0.25)$.
3. На интервале $(-2; 2)$ график симметричен относительно оси OY, проходит через точку $(0; -0.25)$, приближается к асимптоте $x=-2$ слева (уходя в $-\infty$) и к асимптоте $x=2$ справа (также уходя в $-\infty$).
4. На интервале $(2; +\infty)$ функция убывает от $+\infty$ (приближаясь к асимптоте $x=2$) и стремится к $0$ (приближаясь к асимптоте $y=0$ сверху).
5. На интервале $(-\infty; -2)$ в силу четности график ведет себя так же, как и на $(2; +\infty)$: функция возрастает от $0$ (приближаясь к асимптоте $y=0$ сверху при $x \to -\infty$) до $+\infty$ (приближаясь к асимптоте $x=-2$).

График состоит из трех ветвей. Две боковые ветви расположены в верхней полуплоскости, а центральная ветвь — в нижней, имея форму "холма" с вершиной в точке $(0; -0.25)$.

Ответ: График функции представляет собой три ветви, разделенные вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота - $y=0$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. Имеется точка локального максимума $(0; -0.25)$. Ветви на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ находятся в верхней полуплоскости, а ветвь на интервале $(-2; 2)$ - в нижней.

2. Упростите выражение:

1) $a^{\frac{8}{15}} : a^{\frac{1}{6}};$

2) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6};$

3) $(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}.$

1) $a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{8}{15} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{8}{15} + \frac{1}{6}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 это 30.

$\frac{8}{15} + \frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{16}{30} + \frac{5}{30} = \frac{16+5}{30} = \frac{21}{30}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{21}{30} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{7}{10}$

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{7}{10}}$.

Ответ: $a^{\frac{7}{10}}$

2) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6}$

Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

$(a^{-0,8})^4 = a^{-0,8 \cdot 4} = a^{-3,2}$

$(a^{-1,4})^{-2} = a^{-1,4 \cdot (-2)} = a^{2,8}$

$(a^{0,4})^{-6} = a^{0,4 \cdot (-6)} = a^{-2,4}$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$a^{-3,2} \cdot a^{2,8} : a^{-2,4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются. Используем правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{-3,2 + 2,8 - (-2,4)} = a^{-3,2 + 2,8 + 2,4}$

Вычислим показатель степени:

$-3,2 + 2,8 + 2,4 = -0,4 + 2,4 = 2$

Таким образом, выражение равно $a^2$.

Ответ: $a^2$

3) $(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(a^{4\frac{3}{8}})^{\frac{4}{35}} \cdot (b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}$

$2\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{35}{12}$

Подставим эти значения в выражение:

$(a^{\frac{35}{8}})^{\frac{4}{35}} \cdot (b^{\frac{35}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Теперь используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

Для переменной $a$: $a^{\frac{35}{8} \cdot \frac{4}{35}} = a^{\frac{35 \cdot 4}{8 \cdot 35}} = a^{\frac{4}{8}} = a^{\frac{1}{2}}$

Для переменной $b$: $b^{\frac{35}{12} \cdot \frac{4}{35}} = b^{\frac{35 \cdot 4}{12 \cdot 35}} = b^{\frac{4}{12}} = b^{\frac{1}{3}}$

Итоговое выражение: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$

3. Сократите дробь:

1) $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$;

2) $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$;

3) $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$.

1)

Дана дробь: $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Рассмотрим знаменатель $m - 12m^{\frac{1}{8}}$.

Вынесем общий множитель $m^{\frac{1}{8}}$ за скобки. Для этого представим $m$ как $m^1$.

$m - 12m^{\frac{1}{8}} = m^1 - 12m^{\frac{1}{8}} = m^{\frac{1}{8}}(m^{1-\frac{1}{8}} - 12) = m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в знаменатель дроби:

$\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)}$

Сократим общий множитель $(m^{\frac{7}{8}} - 12)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{m^{\frac{7}{8}} - 12}}{m^{\frac{1}{8}}(\cancel{m^{\frac{7}{8}} - 12})} = \frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$

2)

Дана дробь: $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$.

Рассмотрим знаменатель $b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}$. Заметим, что это выражение является разностью квадратов, так как $b^{\frac{1}{4}} = (b^{\frac{1}{8}})^2$ и $25c^{\frac{1}{7}} = 5^2 \cdot (c^{\frac{1}{14}})^2 = (5c^{\frac{1}{14}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - k^2 = (a-k)(a+k)$:

$b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}} = (b^{\frac{1}{8}})^2 - (5c^{\frac{1}{14}})^2 = (b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$

Подставим разложенный на множители знаменатель в исходную дробь:

$\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})}$

Сократим дробь на общий множитель $(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$:

$\frac{\cancel{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}}{(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(\cancel{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}})} = \frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$

Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$

3)

Дана дробь: $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$.

Сначала преобразуем числитель. Заметим, что он представляет собой полный квадрат суммы. Проверим это, используя формулу $(a+k)^2 = a^2 + 2ak + k^2$.

Пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $k = 3y^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

$a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$

$k^2 = (3y^{\frac{1}{4}})^2 = 9y^{\frac{2}{4}} = 9y^{\frac{1}{2}}$

$2ak = 2 \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot 3y^{\frac{1}{4}} = 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}$

Все члены сходятся, значит, числитель равен $(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2$.

Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Общий множитель для степеней $x$ - это $x^{\frac{1}{6}}$, а для степеней $y$ - это $y^{\frac{1}{4}}$.

$x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}) = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$:

$\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$

4. Решите уравнение:

1) $(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} = 3x - 6;$

2) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1;$

3) $\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x} = 4.$

1) $(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} = 3x - 6$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 7 \ge 0$
$x^2 \ge 7$
$x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения:
$3x - 6 = 3(x - 2)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} = 3(x - 2)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} - 3(x - 2) = 0$
$(x - 2)(\sqrt{x^2 - 7} - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$, то $2 < \sqrt{7}$. Значит, $x = 2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 7} - 3 = 0$.
$\sqrt{x^2 - 7} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 7 = 3^2$
$x^2 - 7 = 9$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ.
$x_1 = 4$. $4 > \sqrt{7}$, корень подходит.
$x_2 = -4$. $-4 < -\sqrt{7}$, корень подходит.

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.
При $x = 4$: $(4 - 2)\sqrt{4^2 - 7} = 2\sqrt{16-7} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$. Правая часть: $3(4) - 6 = 12 - 6 = 6$. $6 = 6$. Верно.
При $x = -4$: $(-4 - 2)\sqrt{(-4)^2 - 7} = -6\sqrt{16-7} = -6\sqrt{9} = -6 \cdot 3 = -18$. Правая часть: $3(-4) - 6 = -12 - 6 = -18$. $-18 = -18$. Верно.

Ответ: $x = -4, x = 4$.

2) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Уединим один из корней:
$\sqrt{x + 4} = 1 + \sqrt{x - 1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x + 4})^2 = (1 + \sqrt{x - 1})^2$
$x + 4 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + (\sqrt{x - 1})^2$
$x + 4 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + x - 1$
$x + 4 = x + 2\sqrt{x - 1}$.

Вычтем $x$ из обеих частей и упростим:
$4 = 2\sqrt{x - 1}$
$2 = \sqrt{x - 1}$.
Снова возведем в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{x - 1})^2$
$4 = x - 1$
$x = 5$.

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. $5 \ge 1$, значит, корень подходит.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5 + 4} - \sqrt{5 - 1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$.
$1 = 1$. Верно.

Ответ: $x = 5$.

3) $\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x} = 4$

ОДЗ для кубического корня — все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x})^3 = 4^3$.
$(\sqrt[3]{8 - x})^3 + (\sqrt[3]{8 + x})^3 + 3\sqrt[3]{8 - x}\sqrt[3]{8 + x}(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x}) = 64$.

Упростим полученное выражение. Заметим, что сумма корней $(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x})$ по условию равна 4.
$(8 - x) + (8 + x) + 3\sqrt[3]{(8 - x)(8 + x)} \cdot 4 = 64$
$16 + 12\sqrt[3]{8^2 - x^2} = 64$
$16 + 12\sqrt[3]{64 - x^2} = 64$.

Решим полученное уравнение относительно корня:
$12\sqrt[3]{64 - x^2} = 64 - 16$
$12\sqrt[3]{64 - x^2} = 48$
$\sqrt[3]{64 - x^2} = \frac{48}{12}$
$\sqrt[3]{64 - x^2} = 4$.
Возведем обе части в куб:
$64 - x^2 = 4^3$
$64 - x^2 = 64$
$x^2 = 0$
$x = 0$.

Проверим корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{8 - 0} + \sqrt[3]{8 + 0} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4$.
$4 = 4$. Верно.

Ответ: $x = 0$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{5-4x} < x;$

2) $\sqrt{6x-8} > x.$

1) $\sqrt{5-4x} < x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств, так как корень может быть меньше только положительного числа:

$\begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Подставим наши выражения в систему:

$\begin{cases} 5-4x \ge 0 \\ x > 0 \\ 5-4x < x^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство (область допустимых значений):
$5-4x \ge 0$
$-4x \ge -5$
$4x \le 5$
$x \le \frac{5}{4}$

2. Второе неравенство:
$x > 0$

3. Третье неравенство (получается возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат):
$5-4x < x^2$
$x^2 + 4x - 5 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями, то есть $x < -5$ или $x > 1$.

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств:

$\begin{cases} x \le \frac{5}{4} \\ x > 0 \\ x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) \end{cases}$

Объединяя первые два неравенства, получаем интервал $0 < x \le \frac{5}{4}$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с решением третьего неравенства: $(0; \frac{5}{4}] \cap ((-\infty; -5) \cup (1; +\infty))$.

Пересечение существует только с интервалом $(1; +\infty)$ и равно $(1; \frac{5}{4}]$.

Ответ: $x \in (1; \frac{5}{4}]$

2) $\sqrt{6x-8} > x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем неравенств. Решение ищется в двух случаях: когда правая часть отрицательна и когда она неотрицательна.

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{gathered} \right.$

Подставим наши выражения в совокупность систем:

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ 6x-8 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \ge 0 \\ 6x-8 > x^2 \end{cases} \end{gathered} \right.$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < 0 \\ 6x \ge 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ge \frac{4}{3} \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше 0 и больше или равно $\frac{4}{3}$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 6x-8 > x^2 \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 8 < 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями, то есть $2 < x < 4$.

Теперь найдем пересечение решений второй системы:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 2 < x < 4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $(2; 4)$.

Итоговое решение неравенства является объединением решений двух систем. Так как первая система не имеет решений, решением исходного неравенства будет решение второй системы.

Ответ: $x \in (2; 4)$