Номер 2, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $a^{\frac{8}{15}} : a^{\frac{1}{6}};$

2) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6};$

3) $(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}.$

1) $a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{8}{15} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{8}{15} + \frac{1}{6}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 это 30.

$\frac{8}{15} + \frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{16}{30} + \frac{5}{30} = \frac{16+5}{30} = \frac{21}{30}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{21}{30} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{7}{10}$

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{7}{10}}$.

Ответ: $a^{\frac{7}{10}}$

2) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6}$

Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

$(a^{-0,8})^4 = a^{-0,8 \cdot 4} = a^{-3,2}$

$(a^{-1,4})^{-2} = a^{-1,4 \cdot (-2)} = a^{2,8}$

$(a^{0,4})^{-6} = a^{0,4 \cdot (-6)} = a^{-2,4}$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$a^{-3,2} \cdot a^{2,8} : a^{-2,4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются. Используем правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{-3,2 + 2,8 - (-2,4)} = a^{-3,2 + 2,8 + 2,4}$

Вычислим показатель степени:

$-3,2 + 2,8 + 2,4 = -0,4 + 2,4 = 2$

Таким образом, выражение равно $a^2$.

Ответ: $a^2$

3) $(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(a^{4\frac{3}{8}})^{\frac{4}{35}} \cdot (b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}$

$2\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{35}{12}$

Подставим эти значения в выражение:

$(a^{\frac{35}{8}})^{\frac{4}{35}} \cdot (b^{\frac{35}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Теперь используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

Для переменной $a$: $a^{\frac{35}{8} \cdot \frac{4}{35}} = a^{\frac{35 \cdot 4}{8 \cdot 35}} = a^{\frac{4}{8}} = a^{\frac{1}{2}}$

Для переменной $b$: $b^{\frac{35}{12} \cdot \frac{4}{35}} = b^{\frac{35 \cdot 4}{12 \cdot 35}} = b^{\frac{4}{12}} = b^{\frac{1}{3}}$

Итоговое выражение: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$