Номер 5, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Внесите множитель под знак корня:

1) $(b-2)\sqrt[4]{b-3};$

2) $(5-m)\sqrt[6]{m-1}.$

1) $(b-2)\sqrt[4]{b-3}$

Чтобы внести множитель $(b-2)$ под знак корня 4-й степени (четной степени), необходимо определить знак этого множителя.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$b-3 \ge 0$, откуда $b \ge 3$.

Теперь определим знак множителя $(b-2)$ на ОДЗ. Если $b \ge 3$, то вычитая 2 из обеих частей неравенства, получаем $b-2 \ge 1$. Это означает, что множитель $(b-2)$ всегда является положительным числом.

Поскольку множитель положителен, его можно внести под знак корня, возведя в степень, равную показателю корня (4), по правилу $a \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a^n x}$ для $a \ge 0$.
$(b-2)\sqrt[4]{b-3} = \sqrt[4]{(b-2)^4(b-3)}$.

Ответ: $\sqrt[4]{(b-2)^4(b-3)}$

2) $(5-m)\sqrt[6]{m-1}$

Показатель корня равен 6 (четное число), поэтому для внесения множителя $(5-m)$ под знак корня необходимо учитывать его знак.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$m-1 \ge 0$, что означает $m \ge 1$.

Теперь рассмотрим знак множителя $(5-m)$ на ОДЗ. Возможны два случая.

Случай 1: Множитель $(5-m)$ неотрицателен.
Это условие выполняется, когда $5-m \ge 0$, то есть $m \le 5$. Совмещая с ОДЗ ($m \ge 1$), получаем, что этот случай относится к промежутку $1 \le m \le 5$.
Для неотрицательного множителя $a$ и корня четной степени $n$ справедливо $a \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a^n x}$.
Следовательно, при $1 \le m \le 5$:
$(5-m)\sqrt[6]{m-1} = \sqrt[6]{(5-m)^6(m-1)}$.

Случай 2: Множитель $(5-m)$ отрицателен.
Это условие выполняется, когда $5-m < 0$, то есть $m > 5$. Этот промежуток входит в ОДЗ.
Для отрицательного множителя $a$ и корня четной степени $n$ справедливо $a \sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{(-a)^n x}$.
Здесь $a = 5-m$, значит $-a = -(5-m) = m-5$.
Следовательно, при $m > 5$:
$(5-m)\sqrt[6]{m-1} = -\sqrt[6]{(-(5-m))^6(m-1)} = -\sqrt[6]{(m-5)^6(m-1)}$.

Объединяя оба случая, получаем окончательный результат, который зависит от значения $m$.

Ответ: $(5-m)\sqrt[6]{m-1} = \begin{cases} \sqrt[6]{(5-m)^6(m-1)}, & \text{если } 1 \le m \le 5 \\ -\sqrt[6]{(m-5)^6(m-1)}, & \text{если } m > 5 \end{cases}$