Номер 1, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства

1. Постройте график функции $y = \left( \left( x^2 - 4 \right)^{-\frac{1}{5}} \right)^{-5}$.

Для построения графика функции $y = \left( (x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \right)^{-5}$ проведем ее полное исследование.

1. Упрощение выражения и нахождение области определения

Сначала упростим данную функцию, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $y = \left( (x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \right)^{-5} = (x^2 - 4)^{\frac{1}{5} \cdot (-5)} = (x^2 - 4)^{-1} = \frac{1}{x^2 - 4}$.

Теперь найдем область определения (ОДЗ). В исходной функции $y = \left( (x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \right)^{-5}$ корень пятой степени (показатель $\frac{1}{5}$) определен для любого значения выражения $x^2 - 4$. Однако, последующее возведение в отрицательную степень $(-5)$ требует, чтобы основание не было равно нулю. То есть, $(x^2 - 4)^{\frac{1}{5}} \neq 0$, что равносильно $x^2 - 4 \neq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 4 = 0$:
$(x-2)(x+2) = 0$
$x_1 = 2, x_2 = -2$.

Следовательно, из области определения исключаются точки $x = 2$ и $x = -2$.
Область определения функции $D(y)$: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
Эта область определения совпадает с областью определения упрощенной функции $y = \frac{1}{x^2 - 4}$, поэтому дальнейшее исследование можно проводить для нее.

2. Исследование на четность

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 4} = \frac{1}{x^2 - 4} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY:
Полагаем $x = 0$: $y(0) = \frac{1}{0^2 - 4} = -\frac{1}{4} = -0.25$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -0.25)$.

Пересечение с осью OX:
Полагаем $y = 0$: $\frac{1}{x^2 - 4} = 0$. Данное уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, а он равен 1. Следовательно, график функции не пересекает ось OX.

4. Нахождение асимптот графика

Вертикальные асимптоты:
Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. В нашем случае это точки, где знаменатель равен нулю: $x = -2$ и $x = 2$. Прямые $x = -2$ и $x = 2$ являются вертикальными асимптотами.

Горизонтальная асимптота:
Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 4} = 0$. Следовательно, прямая $y = 0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

5. Исследование на монотонность и экстремумы

Найдем первую производную функции: $y' = \left(\frac{1}{x^2 - 4}\right)' = \left((x^2 - 4)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x^2 - 4)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 - 4)^2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $-\frac{2x}{(x^2 - 4)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.

Знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной определяется знаком числителя $-2x$.

• При $x \in (-\infty; -2)$ и $x \in (-2; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$ и $x \in (2; +\infty)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x = 0$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = -0.25$. Точка максимума: $(0; -0.25)$.

6. Построение графика

Соберем все полученные данные и построим график:

1. Проводим оси координат и асимптоты: вертикальные прямые $x = -2$, $x = 2$ и горизонтальную прямую $y = 0$.
2. Отмечаем точку локального максимума $(0; -0.25)$.
3. На интервале $(-2; 2)$ график симметричен относительно оси OY, проходит через точку $(0; -0.25)$, приближается к асимптоте $x=-2$ слева (уходя в $-\infty$) и к асимптоте $x=2$ справа (также уходя в $-\infty$).
4. На интервале $(2; +\infty)$ функция убывает от $+\infty$ (приближаясь к асимптоте $x=2$) и стремится к $0$ (приближаясь к асимптоте $y=0$ сверху).
5. На интервале $(-\infty; -2)$ в силу четности график ведет себя так же, как и на $(2; +\infty)$: функция возрастает от $0$ (приближаясь к асимптоте $y=0$ сверху при $x \to -\infty$) до $+\infty$ (приближаясь к асимптоте $x=-2$).

График состоит из трех ветвей. Две боковые ветви расположены в верхней полуплоскости, а центральная ветвь — в нижней, имея форму "холма" с вершиной в точке $(0; -0.25)$.

Ответ: График функции представляет собой три ветви, разделенные вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота - $y=0$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. Имеется точка локального максимума $(0; -0.25)$. Ветви на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ находятся в верхней полуплоскости, а ветвь на интервале $(-2; 2)$ - в нижней.