Номер 2, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-5} + 1$ на промежутке $[2; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-5} + 1$ на отрезке $[2; 3]$, необходимо исследовать её поведение на этом отрезке. Стандартный алгоритм включает в себя нахождение производной, определение критических точек и вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции.

Функция может быть записана в виде $y(x) = \frac{1}{x^5} + 1$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:
$y'(x) = (x^{-5} + 1)' = -5 \cdot x^{-5-1} + 0 = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

2. Найдём критические точки.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
а) $y'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{5}{x^6} = 0$. У этого уравнения нет решений, так как числитель $-5 \neq 0$.
б) Производная $y'(x)$ не существует, когда её знаменатель равен нулю: $x^6 = 0$, то есть при $x=0$.
Точка $x=0$ не принадлежит рассматриваемому отрезку $[2; 3]$. Следовательно, на данном отрезке у функции нет критических точек.

3. Определим характер монотонности функции.

Поскольку на отрезке $[2; 3]$ нет критических точек, функция на нём является монотонной. Для определения характера монотонности (возрастание или убывание) найдём знак производной на этом отрезке.
Для любого значения $x$ из отрезка $[2; 3]$, $x$ — положительное число, а значит, и $x^6$ будет положительным.
Тогда производная $y'(x) = -\frac{5}{x^6}$ будет всегда отрицательной (результат деления отрицательного числа на положительное).
Так как $y'(x) < 0$ на всём отрезке $[2; 3]$, функция $y(x)$ является строго убывающей на этом отрезке.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка.

Для монотонно убывающей функции на замкнутом отрезке наибольшее значение достигается в его левой границе, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение функции будет в точке $x=2$:
$y_{наиб} = y(2) = 2^{-5} + 1 = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$.
Наименьшее значение функции будет в точке $x=3$:
$y_{наим} = y(3) = 3^{-5} + 1 = \frac{1}{3^5} + 1 = \frac{1}{243} + 1 = \frac{244}{243}$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[2; 3]$ равно $\frac{33}{32}$, а наименьшее значение равно $\frac{244}{243}$.