Номер 7, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Определите количество корней уравнения $(x - a)(\sqrt[4]{x} - 3) = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Для решения уравнения $(x - a)(\sqrt[4]{x} - 3) = 0$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует корень четвертой степени $\sqrt[4]{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

$ \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x - a = 0 \\ \sqrt[4]{x} - 3 = 0 \end{array} \right. \\ x \ge 0 \end{cases} $

Рассмотрим каждое уравнение из совокупности отдельно.

Из первого уравнения $x - a = 0$ получаем потенциальный корень $x_1 = a$. Этот корень будет являться решением исходного уравнения только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть $a \ge 0$.

Из второго уравнения $\sqrt[4]{x} - 3 = 0$ получаем $\sqrt[4]{x} = 3$. Возводя обе части в четвертую степень, находим корень $x_2 = 3^4 = 81$. Этот корень ($x=81$) удовлетворяет ОДЗ ($81 \ge 0$), поэтому он является решением исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$.

Если $a < 0$, то значение $x_1 = a$ не входит в ОДЗ, и, следовательно, не является корнем уравнения. Единственным корнем в этом случае будет $x_2 = 81$. Таким образом, уравнение имеет один корень.

Если $a \ge 0$, то $x_1 = a$ является корнем, так как удовлетворяет ОДЗ. В этом случае уравнение имеет корни $x_1 = a$ и $x_2 = 81$. Количество различных корней зависит от того, совпадают ли эти два значения.

При $a = 81$, корни совпадают: $x_1 = x_2 = 81$. В этом случае уравнение имеет один корень.

При $a \ge 0$ и $a \ne 81$, корни $x_1 = a$ и $x_2 = 81$ различны. В этом случае уравнение имеет два корня.

Подводя итог, получаем:

Ответ: если $a < 0$ или $a = 81$, то уравнение имеет один корень; если $a \ge 0$ и $a \ne 81$, то уравнение имеет два корня.