Номер 3, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Сократите дробь:

1) $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$;

2) $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$;

3) $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$.

1)

Дана дробь: $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Рассмотрим знаменатель $m - 12m^{\frac{1}{8}}$.

Вынесем общий множитель $m^{\frac{1}{8}}$ за скобки. Для этого представим $m$ как $m^1$.

$m - 12m^{\frac{1}{8}} = m^1 - 12m^{\frac{1}{8}} = m^{\frac{1}{8}}(m^{1-\frac{1}{8}} - 12) = m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в знаменатель дроби:

$\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)}$

Сократим общий множитель $(m^{\frac{7}{8}} - 12)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{m^{\frac{7}{8}} - 12}}{m^{\frac{1}{8}}(\cancel{m^{\frac{7}{8}} - 12})} = \frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$

Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$

2)

Дана дробь: $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$.

Рассмотрим знаменатель $b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}$. Заметим, что это выражение является разностью квадратов, так как $b^{\frac{1}{4}} = (b^{\frac{1}{8}})^2$ и $25c^{\frac{1}{7}} = 5^2 \cdot (c^{\frac{1}{14}})^2 = (5c^{\frac{1}{14}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - k^2 = (a-k)(a+k)$:

$b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}} = (b^{\frac{1}{8}})^2 - (5c^{\frac{1}{14}})^2 = (b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$

Подставим разложенный на множители знаменатель в исходную дробь:

$\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})}$

Сократим дробь на общий множитель $(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$:

$\frac{\cancel{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}}{(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(\cancel{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}})} = \frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$

Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$

3)

Дана дробь: $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$.

Сначала преобразуем числитель. Заметим, что он представляет собой полный квадрат суммы. Проверим это, используя формулу $(a+k)^2 = a^2 + 2ak + k^2$.

Пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $k = 3y^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

$a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$

$k^2 = (3y^{\frac{1}{4}})^2 = 9y^{\frac{2}{4}} = 9y^{\frac{1}{2}}$

$2ak = 2 \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot 3y^{\frac{1}{4}} = 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}$

Все члены сходятся, значит, числитель равен $(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2$.

Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Общий множитель для степеней $x$ - это $x^{\frac{1}{6}}$, а для степеней $y$ - это $y^{\frac{1}{4}}$.

$x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}) = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$:

$\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$