Номер 3, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x;$

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}{\sin x}.$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является нечётной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)$

1. Найдём область определения $D(f)$.
Функция состоит из степенной функции $x^5$ и тригонометрических функций $\sin(3x)$ и $\cos(x)$. Все эти функции определены для любых действительных чисел. Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая является симметричной относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$.
Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:
$f(-x) = (-x)^5 - 3\sin^3(3(-x))\cos(-x)$.
Используем свойства чётности и нечётности функций:

• Степенная функция с нечётным показателем является нечётной: $(-x)^5 = -x^5$.
• Синус — нечётная функция: $\sin(-u) = -\sin(u)$, поэтому $\sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x)$. Тогда $\sin^3(3(-x)) = (-\sin(3x))^3 = -\sin^3(3x)$.
• Косинус — чётная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Подставим эти выражения обратно в формулу для $f(-x)$:
$f(-x) = -x^5 - 3(-\sin^3(3x))(\cos(x)) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
$f(-x) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x) = -(x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sin(x)}$

1. Найдём область определения $D(f)$.
Функция определена, когда определены все входящие в неё функции и знаменатель не равен нулю.

• $\tan(x)$ определен, если $\cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cot(x)$ определен, если $\sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Знаменатель дроби $\sin(x)$ не должен быть равен нулю, что совпадает с предыдущим условием: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$. Область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля, так как если $x_0$ не входит в область определения, то и $-x_0$ также не входит.

2. Найдём $f(-x)$.
Подставим $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = \frac{\tan(-x) + \cot(-x)}{\sin(-x)}$.
Используем свойства нечётности тригонометрических функций:

• $\tan(-x) = -\tan(x)$
• $\cot(-x) = -\cot(x)$
• $\sin(-x) = -\sin(x)$

Подставляем в выражение:
$f(-x) = \frac{-\tan(x) - \cot(x)}{-\sin(x)} = \frac{-(\tan(x) + \cot(x))}{-\sin(x)} = \frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sin(x)}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

(Альтернативный способ) Можно сначала упростить выражение для $f(x)$:
$f(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \sin x}}{\sin x} = \frac{\frac{1}{\cos x \sin x}}{\sin x} = \frac{1}{\cos x \sin^2 x}$.
Теперь проверим на чётность эту функцию:
$f(-x) = \frac{1}{\cos(-x) \sin^2(-x)} = \frac{1}{\cos x (-\sin x)^2} = \frac{1}{\cos x \sin^2 x} = f(x)$.
Результат тот же: функция чётная.

Ответ: функция чётная.