Номер 7, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Постройте график функции:

1) $f(x) = 2 \left| \cos \frac{x}{3} \right|;$

2) $y = \sqrt{\cos \frac{1}{2} x - 1} + 1.$

Построение графика функции будем выполнять по шагам, используя преобразования графика основной функции $y = \cos{x}$.

1. Сначала построим график функции $y_1 = \cos{x}$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Далее построим график функции $y_2 = \cos{\frac{x}{3}}$. Этот график получается из графика $y_1 = \cos{x}$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза. Период этой функции $T_2 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$. Амплитуда остается равной 1.

3. Теперь построим график функции $y_3 = \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$. Чтобы получить этот график, нужно часть графика $y_2 = \cos{\frac{x}{3}}$, расположенную ниже оси Ox, симметрично отразить относительно оси Ox. Все значения функции станут неотрицательными. Так как модуль "срезает" отрицательную полуволну и отражает ее вверх, период функции уменьшается вдвое: $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

4. Наконец, построим искомый график функции $f(x) = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$. Этот график получается из графика $y_3 = \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Максимальное значение функции будет $2 \cdot 1 = 2$, а минимальное $2 \cdot 0 = 0$.

Итоговые характеристики графика $f(x) = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$:

• Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [0, 2]$.

• Функция является четной, так как $f(-x) = 2 \left| \cos{\frac{-x}{3}} \right| = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right| = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

• Период функции: $T = 3\pi$.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0 \implies \cos{\frac{x}{3}} = 0 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in Z$.

• Точки максимума: $f(x) = 2 \implies \left| \cos{\frac{x}{3}} \right| = 1 \implies \frac{x}{3} = \pi k \implies x = 3\pi k$, где $k \in Z$.

График представляет собой последовательность "холмов" с высотой 2, которые повторяются с периодом $3\pi$.

Ответ: График функции $f(x) = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$ строится путем последовательных преобразований графика $y=\cos{x}$: растяжение в 3 раза вдоль оси Ox, отражение отрицательной части графика относительно оси Ox, и растяжение в 2 раза вдоль оси Oy. График представляет собой периодическую кривую с периодом $3\pi$, расположенную в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), с максимумами в точках $x=3\pi k$ (значение 2) и минимумами (нулями) в точках $x=\frac{3\pi}{2} + 3\pi k$.

Для построения графика этой функции сначала найдем ее область определения (ОДЗ).

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$\cos{\frac{1}{2}x} - 1 \ge 0$

$\cos{\frac{1}{2}x} \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение $\cos{\frac{1}{2}x}$ никогда не может быть больше 1. Следовательно, единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это когда $\cos{\frac{1}{2}x}$ равен 1.

$\cos{\frac{1}{2}x} = 1$

Решим это тригонометрическое уравнение:

$\frac{1}{2}x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

$x = 4\pi k$, где $k \in Z$.

Таким образом, область определения функции — это не непрерывный интервал, а набор дискретных (изолированных) точек: $\{\dots, -8\pi, -4\pi, 0, 4\pi, 8\pi, \dots\}$.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Подставим в исходное уравнение условие $\cos{\frac{1}{2}x} = 1$:

$y = \sqrt{1 - 1} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

Это означает, что для любой точки $x$ из области определения значение функции $y$ всегда равно 1.

Таким образом, график данной функции представляет собой бесконечный набор изолированных точек, лежащих на прямой $y=1$. Координаты этих точек $(4\pi k, 1)$ для всех целых $k$.

Например, некоторые из этих точек:

• при $k=0: (0, 1)$

• при $k=1: (4\pi, 1)$

• при $k=-1: (-4\pi, 1)$

• при $k=2: (8\pi, 1)$

Ответ: График функции $y = \sqrt{\cos{\frac{1}{2}}x - 1} + 1$ является набором изолированных точек с координатами $(4\pi k, 1)$, где $k \in Z$.