Номер 1, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия

1. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \operatorname{tg} 11\alpha \operatorname{ctg} 11\alpha;$

2) $\frac{6\sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha};$

3) $\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha};$

4) $2\sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha.$

1)

Упростим выражение $ \frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \tan 11\alpha \cdot \cot 11\alpha $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Из него следуют два равенства:

$ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $

$ \cos^2 x - 1 = -(1 - \cos^2 x) = -\sin^2 x $

Применим эти равенства к первой дроби, подставив $ x = 8\alpha $:

$ \frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} = \frac{\cos^2 8\alpha}{-\sin^2 8\alpha} = -\cot^2 8\alpha $

Теперь рассмотрим вторую часть выражения. Используем тождество $ \tan x \cdot \cot x = 1 $:

$ \tan 11\alpha \cdot \cot 11\alpha = 1 $

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$ -\cot^2 8\alpha - 1 = -(\cot^2 8\alpha + 1) $

Используем еще одно тригонометрическое тождество $ 1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} $:

$ -(\cot^2 8\alpha + 1) = -\frac{1}{\sin^2 8\alpha} $

Ответ: $ -\frac{1}{\sin^2 8\alpha} $

2)

Упростим выражение $ \frac{6\sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha} $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ к знаменателю, где $ x = 10\alpha $:

$ \sin 20\alpha = \sin(2 \cdot 10\alpha) = 2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha $

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{6\sin^2 10\alpha}{2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha} $

Сократим дробь на $ 2 \sin 10\alpha $ (при условии, что $ \sin 10\alpha \neq 0 $):

$ \frac{3 \sin 10\alpha}{\cos 10\alpha} $

Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:

$ 3 \tan 10\alpha $

Ответ: $ 3 \tan 10\alpha $

3)

Упростим выражение $ \frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha} $.

Для преобразования числителя используем формулу суммы синусов:

$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $

$ \sin 12\alpha + \sin 8\alpha = 2 \sin\left(\frac{12\alpha+8\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{12\alpha-8\alpha}{2}\right) = 2 \sin(10\alpha) \cos(2\alpha) $

Для преобразования знаменателя используем формулу суммы косинусов:

$ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $

$ \cos 11\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\left(\frac{11\alpha+7\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{11\alpha-7\alpha}{2}\right) = 2 \cos(9\alpha) \cos(2\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2 \sin(10\alpha) \cos(2\alpha)}{2 \cos(9\alpha) \cos(2\alpha)} $

Сократим дробь на $ 2 \cos(2\alpha) $ (при условии, что $ \cos(2\alpha) \neq 0 $):

$ \frac{\sin(10\alpha)}{\cos(9\alpha)} $

Ответ: $ \frac{\sin(10\alpha)}{\cos(9\alpha)} $

4)

Упростим выражение $ 2\sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha $.

Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используем формулу:

$ 2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $

Применим ее к первому члену выражения, где $ A = 11\alpha $ и $ B = 5\alpha $:

$ 2\sin 11\alpha \cos 5\alpha = \sin(11\alpha + 5\alpha) + \sin(11\alpha - 5\alpha) = \sin(16\alpha) + \sin(6\alpha) $

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ (\sin(16\alpha) + \sin(6\alpha)) - \sin 6\alpha $

Упрощаем, сокращая $ \sin 6\alpha $ и $ -\sin 6\alpha $:

$ \sin 16\alpha $

Ответ: $ \sin 16\alpha $