Номер 6, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $ \cot^2 x \sin^2 x - 5 $.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $y = \operatorname{ctg}^2 x \sin^2 x - 5$ сначала упростим его и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Используем определение котангенса: $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Тогда $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) \cdot \sin^2 x - 5$

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения определяется условием $\sin x \neq 0$, поскольку в определении котангенса присутствует деление на $\sin x$. Это означает, что $x \neq \pi k$ для любого целого $k$.

С учетом ОДЗ, мы можем сократить $\sin^2 x$ в выражении:

$y = \cos^2 x - 5$

Таким образом, задача сводится к поиску наибольшего и наименьшего значений функции $y = \cos^2 x - 5$ при условии $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Учтем наше ограничение $x \neq \pi k$. При $x = \pi k$, значение $\cos^2 x$ равно 1. Так как эти значения $x$ исключены из ОДЗ, то $\cos^2 x$ не может достигать значения 1. При этом значение $\cos^2 x = 0$ достигается (например, при $x = \pi/2$, что входит в ОДЗ). Таким образом, область значений для $\cos^2 x$ в нашей задаче — это полуинтервал $[0, 1)$.

Наименьшее значение

Наименьшее значение выражения $y = \cos^2 x - 5$ достигается при наименьшем возможном значении $\cos^2 x$. Из полуинтервала $[0, 1)$ наименьшее значение равно 0.

Подставляем это значение в выражение:

$y_{наим} = 0 - 5 = -5$

Это значение достигается, например, при $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: -5.

Наибольшее значение

Наибольшее значение выражения $y = \cos^2 x - 5$ достигалось бы при наибольшем возможном значении $\cos^2 x$.

Мы выяснили, что $\cos^2 x$ может принимать значения сколь угодно близкие к 1, но никогда не равняется 1. То есть, $\cos^2 x < 1$.

Это означает, что значение выражения $y = \cos^2 x - 5$ будет всегда меньше, чем $1 - 5 = -4$.

$y < -4$

Поскольку значение выражения может быть сколь угодно близким к -4 (например, -4.000001), но никогда не достигает его, у выражения нет наибольшего значения (максимума). Существует только точная верхняя грань (супремум), равная -4.

Ответ: наибольшего значения не существует.