Номер 4, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение:

1) $(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} = 3x - 6;$

2) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1;$

3) $\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x} = 4.$

1) $(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} = 3x - 6$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 7 \ge 0$
$x^2 \ge 7$
$x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения:
$3x - 6 = 3(x - 2)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} = 3(x - 2)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} - 3(x - 2) = 0$
$(x - 2)(\sqrt{x^2 - 7} - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$, то $2 < \sqrt{7}$. Значит, $x = 2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 7} - 3 = 0$.
$\sqrt{x^2 - 7} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 7 = 3^2$
$x^2 - 7 = 9$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ.
$x_1 = 4$. $4 > \sqrt{7}$, корень подходит.
$x_2 = -4$. $-4 < -\sqrt{7}$, корень подходит.

Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.
При $x = 4$: $(4 - 2)\sqrt{4^2 - 7} = 2\sqrt{16-7} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$. Правая часть: $3(4) - 6 = 12 - 6 = 6$. $6 = 6$. Верно.
При $x = -4$: $(-4 - 2)\sqrt{(-4)^2 - 7} = -6\sqrt{16-7} = -6\sqrt{9} = -6 \cdot 3 = -18$. Правая часть: $3(-4) - 6 = -12 - 6 = -18$. $-18 = -18$. Верно.

Ответ: $x = -4, x = 4$.

2) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Уединим один из корней:
$\sqrt{x + 4} = 1 + \sqrt{x - 1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x + 4})^2 = (1 + \sqrt{x - 1})^2$
$x + 4 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + (\sqrt{x - 1})^2$
$x + 4 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + x - 1$
$x + 4 = x + 2\sqrt{x - 1}$.

Вычтем $x$ из обеих частей и упростим:
$4 = 2\sqrt{x - 1}$
$2 = \sqrt{x - 1}$.
Снова возведем в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{x - 1})^2$
$4 = x - 1$
$x = 5$.

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. $5 \ge 1$, значит, корень подходит.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{5 + 4} - \sqrt{5 - 1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$.
$1 = 1$. Верно.

Ответ: $x = 5$.

3) $\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x} = 4$

ОДЗ для кубического корня — все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x})^3 = 4^3$.
$(\sqrt[3]{8 - x})^3 + (\sqrt[3]{8 + x})^3 + 3\sqrt[3]{8 - x}\sqrt[3]{8 + x}(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x}) = 64$.

Упростим полученное выражение. Заметим, что сумма корней $(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{8 + x})$ по условию равна 4.
$(8 - x) + (8 + x) + 3\sqrt[3]{(8 - x)(8 + x)} \cdot 4 = 64$
$16 + 12\sqrt[3]{8^2 - x^2} = 64$
$16 + 12\sqrt[3]{64 - x^2} = 64$.

Решим полученное уравнение относительно корня:
$12\sqrt[3]{64 - x^2} = 64 - 16$
$12\sqrt[3]{64 - x^2} = 48$
$\sqrt[3]{64 - x^2} = \frac{48}{12}$
$\sqrt[3]{64 - x^2} = 4$.
Возведем обе части в куб:
$64 - x^2 = 4^3$
$64 - x^2 = 64$
$x^2 = 0$
$x = 0$.

Проверим корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{8 - 0} + \sqrt[3]{8 + 0} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4$.
$4 = 4$. Верно.

Ответ: $x = 0$.