Номер 5, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{5-4x} < x;$

2) $\sqrt{6x-8} > x.$

1) $\sqrt{5-4x} < x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств, так как корень может быть меньше только положительного числа:

$\begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Подставим наши выражения в систему:

$\begin{cases} 5-4x \ge 0 \\ x > 0 \\ 5-4x < x^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство (область допустимых значений):
$5-4x \ge 0$
$-4x \ge -5$
$4x \le 5$
$x \le \frac{5}{4}$

2. Второе неравенство:
$x > 0$

3. Третье неравенство (получается возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат):
$5-4x < x^2$
$x^2 + 4x - 5 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями, то есть $x < -5$ или $x > 1$.

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств:

$\begin{cases} x \le \frac{5}{4} \\ x > 0 \\ x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) \end{cases}$

Объединяя первые два неравенства, получаем интервал $0 < x \le \frac{5}{4}$.

Теперь найдем пересечение этого интервала с решением третьего неравенства: $(0; \frac{5}{4}] \cap ((-\infty; -5) \cup (1; +\infty))$.

Пересечение существует только с интервалом $(1; +\infty)$ и равно $(1; \frac{5}{4}]$.

Ответ: $x \in (1; \frac{5}{4}]$

2) $\sqrt{6x-8} > x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем неравенств. Решение ищется в двух случаях: когда правая часть отрицательна и когда она неотрицательна.

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{gathered} \right.$

Подставим наши выражения в совокупность систем:

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ 6x-8 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \ge 0 \\ 6x-8 > x^2 \end{cases} \end{gathered} \right.$

Решим первую систему:

$\begin{cases} x < 0 \\ 6x \ge 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ge \frac{4}{3} \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше 0 и больше или равно $\frac{4}{3}$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 6x-8 > x^2 \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 8 < 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями, то есть $2 < x < 4$.

Теперь найдем пересечение решений второй системы:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 2 < x < 4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $(2; 4)$.

Итоговое решение неравенства является объединением решений двух систем. Так как первая система не имеет решений, решением исходного неравенства будет решение второй системы.

Ответ: $x \in (2; 4)$