Номер 2, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Определите знак выражения:

1) $\cos 156^\circ \sin (-350^\circ)\cot 230^\circ;$

2) $\sin \frac{9\pi}{5} \cot \left(-\frac{8\pi}{7}\right).$

1) $\cos 156^\circ \sin(-350^\circ)\operatorname{ctg} 230^\circ$

Для определения знака всего выражения, определим знак каждого множителя по отдельности, используя тригонометрическую окружность.

1. Определим знак $\cos 156^\circ$. Угол $156^\circ$ находится во второй четверти, так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$. Во второй четверти косинус (абсцисса точки на окружности) отрицателен, следовательно, $\cos 156^\circ < 0$.

2. Определим знак $\sin(-350^\circ)$. Воспользуемся периодичностью синуса, прибавив полный оборот $360^\circ$:
$\sin(-350^\circ) = \sin(-350^\circ + 360^\circ) = \sin(10^\circ)$.
Угол $10^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$), где синус (ордината точки на окружности) положителен. Следовательно, $\sin(-350^\circ) > 0$.

3. Определим знак $\operatorname{ctg} 230^\circ$. Угол $230^\circ$ находится в третьей четверти, так как $180^\circ < 230^\circ < 270^\circ$. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны, а их отношение, котангенс, положителен. Следовательно, $\operatorname{ctg} 230^\circ > 0$.

Теперь найдем знак произведения, перемножив знаки множителей:
$(\cos 156^\circ) \cdot (\sin(-350^\circ)) \cdot (\operatorname{ctg} 230^\circ) \rightarrow (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак минус.

2) $\sin\frac{9\pi}{5}\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$

Определим знак каждого множителя в выражении, работая с углами в радианах.

1. Определим знак $\sin\frac{9\pi}{5}$. Чтобы определить четверть, сравним угол с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$ и $2\pi = \frac{10\pi}{5}$.
Так как $\frac{7.5\pi}{5} < \frac{9\pi}{5} < \frac{10\pi}{5}$, угол $\frac{9\pi}{5}$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен. Следовательно, $\sin\frac{9\pi}{5} < 0$.

2. Определим знак $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$. Котангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.
Значит, $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right)$.
Теперь определим знак $\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right)$. Сравним угол $\frac{8\pi}{7}$ с границами четвертей: $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$.
Так как $\frac{7\pi}{7} < \frac{8\pi}{7} < \frac{10.5\pi}{7}$, угол $\frac{8\pi}{7}$ находится в третьей четверти. В третьей четверти котангенс положителен, то есть $\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right) > 0$.
Следовательно, $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right)$ будет иметь отрицательный знак. Таким образом, $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) < 0$.

Теперь найдем знак произведения:
$\left(\sin\frac{9\pi}{5}\right) \cdot \left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)\right) \rightarrow (-) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: знак плюс.