Страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тригонометрические функции и их свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\sin \frac{19\pi}{3}$;

2) $\text{ctg} (-765^\circ)$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sin \frac{19\pi}{3}$, воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $2\pi$.
Представим угол $\frac{19\pi}{3}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$ (то есть $2\pi k$, где $k$ - целое число):
$\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = \frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, мы можем отбросить целое число периодов, используя формулу $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$.
Следовательно, значение синуса не изменится:
$\sin \frac{19\pi}{3} = \sin(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ является табличным:
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Чтобы найти значение выражения $\text{ctg}(-765^\circ)$, воспользуемся свойствами котангенса.
Во-первых, котангенс - нечетная функция, то есть $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
Поэтому, $\text{ctg}(-765^\circ) = -\text{ctg}(765^\circ)$.
Во-вторых, котангенс - периодическая функция с периодом $180^\circ$. Мы можем использовать этот период или кратный ему, например $360^\circ$. Выделим в угле $765^\circ$ целое число периодов по $360^\circ$:
$765^\circ = 720^\circ + 45^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 45^\circ$.
Отбрасываем целое число периодов, используя формулу $\text{ctg}(x + 360^\circ k) = \text{ctg}(x)$:
$-\text{ctg}(765^\circ) = -\text{ctg}(2 \cdot 360^\circ + 45^\circ) = -\text{ctg}(45^\circ)$.
Значение $\text{ctg}(45^\circ)$ является табличным:
$\text{ctg}(45^\circ) = 1$.
Следовательно, искомое значение равно:
$-\text{ctg}(45^\circ) = -1$.
Ответ: -1

2. Определите знак выражения:

1) $\cos 156^\circ \sin (-350^\circ)\cot 230^\circ;$

2) $\sin \frac{9\pi}{5} \cot \left(-\frac{8\pi}{7}\right).$

1) $\cos 156^\circ \sin(-350^\circ)\operatorname{ctg} 230^\circ$

Для определения знака всего выражения, определим знак каждого множителя по отдельности, используя тригонометрическую окружность.

1. Определим знак $\cos 156^\circ$. Угол $156^\circ$ находится во второй четверти, так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$. Во второй четверти косинус (абсцисса точки на окружности) отрицателен, следовательно, $\cos 156^\circ < 0$.

2. Определим знак $\sin(-350^\circ)$. Воспользуемся периодичностью синуса, прибавив полный оборот $360^\circ$:
$\sin(-350^\circ) = \sin(-350^\circ + 360^\circ) = \sin(10^\circ)$.
Угол $10^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$), где синус (ордината точки на окружности) положителен. Следовательно, $\sin(-350^\circ) > 0$.

3. Определим знак $\operatorname{ctg} 230^\circ$. Угол $230^\circ$ находится в третьей четверти, так как $180^\circ < 230^\circ < 270^\circ$. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны, а их отношение, котангенс, положителен. Следовательно, $\operatorname{ctg} 230^\circ > 0$.

Теперь найдем знак произведения, перемножив знаки множителей:
$(\cos 156^\circ) \cdot (\sin(-350^\circ)) \cdot (\operatorname{ctg} 230^\circ) \rightarrow (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак минус.

2) $\sin\frac{9\pi}{5}\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$

Определим знак каждого множителя в выражении, работая с углами в радианах.

1. Определим знак $\sin\frac{9\pi}{5}$. Чтобы определить четверть, сравним угол с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$ и $2\pi = \frac{10\pi}{5}$.
Так как $\frac{7.5\pi}{5} < \frac{9\pi}{5} < \frac{10\pi}{5}$, угол $\frac{9\pi}{5}$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен. Следовательно, $\sin\frac{9\pi}{5} < 0$.

2. Определим знак $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$. Котангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$.
Значит, $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right)$.
Теперь определим знак $\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right)$. Сравним угол $\frac{8\pi}{7}$ с границами четвертей: $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$.
Так как $\frac{7\pi}{7} < \frac{8\pi}{7} < \frac{10.5\pi}{7}$, угол $\frac{8\pi}{7}$ находится в третьей четверти. В третьей четверти котангенс положителен, то есть $\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right) > 0$.
Следовательно, $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{7}\right)$ будет иметь отрицательный знак. Таким образом, $\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) < 0$.

Теперь найдем знак произведения:
$\left(\sin\frac{9\pi}{5}\right) \cdot \left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)\right) \rightarrow (-) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: знак плюс.

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x;$

2) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}{\sin x}.$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — тогда функция является нечётной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)$

1. Найдём область определения $D(f)$.
Функция состоит из степенной функции $x^5$ и тригонометрических функций $\sin(3x)$ и $\cos(x)$. Все эти функции определены для любых действительных чисел. Следовательно, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая является симметричной относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$.
Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:
$f(-x) = (-x)^5 - 3\sin^3(3(-x))\cos(-x)$.
Используем свойства чётности и нечётности функций:

• Степенная функция с нечётным показателем является нечётной: $(-x)^5 = -x^5$.
• Синус — нечётная функция: $\sin(-u) = -\sin(u)$, поэтому $\sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x)$. Тогда $\sin^3(3(-x)) = (-\sin(3x))^3 = -\sin^3(3x)$.
• Косинус — чётная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Подставим эти выражения обратно в формулу для $f(-x)$:
$f(-x) = -x^5 - 3(-\sin^3(3x))(\cos(x)) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
$f(-x) = -x^5 + 3\sin^3(3x)\cos(x) = -(x^5 - 3\sin^3(3x)\cos(x)) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sin(x)}$

1. Найдём область определения $D(f)$.
Функция определена, когда определены все входящие в неё функции и знаменатель не равен нулю.

• $\tan(x)$ определен, если $\cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cot(x)$ определен, если $\sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Знаменатель дроби $\sin(x)$ не должен быть равен нулю, что совпадает с предыдущим условием: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$. Область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля, так как если $x_0$ не входит в область определения, то и $-x_0$ также не входит.

2. Найдём $f(-x)$.
Подставим $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = \frac{\tan(-x) + \cot(-x)}{\sin(-x)}$.
Используем свойства нечётности тригонометрических функций:

• $\tan(-x) = -\tan(x)$
• $\cot(-x) = -\cot(x)$
• $\sin(-x) = -\sin(x)$

Подставляем в выражение:
$f(-x) = \frac{-\tan(x) - \cot(x)}{-\sin(x)} = \frac{-(\tan(x) + \cot(x))}{-\sin(x)} = \frac{\tan(x) + \cot(x)}{\sin(x)}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

(Альтернативный способ) Можно сначала упростить выражение для $f(x)$:
$f(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \sin x}}{\sin x} = \frac{\frac{1}{\cos x \sin x}}{\sin x} = \frac{1}{\cos x \sin^2 x}$.
Теперь проверим на чётность эту функцию:
$f(-x) = \frac{1}{\cos(-x) \sin^2(-x)} = \frac{1}{\cos x (-\sin x)^2} = \frac{1}{\cos x \sin^2 x} = f(x)$.
Результат тот же: функция чётная.

Ответ: функция чётная.

4. Найдите период функции $f(x) = \sin \frac{3x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{4x}{3}$.

Для нахождения периода функции $f(x) = \sin\frac{3x}{2} + \text{ctg}\frac{4x}{3}$, которая представляет собой сумму двух периодических функций, необходимо определить период каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

1. Найдем период функции $g(x) = \sin\frac{3x}{2}$.

Основной период синуса, $\sin(t)$, равен $2\pi$. Для функции вида $\sin(kx)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{3}{2}$.

Период первого слагаемого, $T_1$, равен:

$T_1 = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Найдем период функции $h(x) = \text{ctg}\frac{4x}{3}$.

Основной период котангенса, $\text{ctg}(t)$, равен $\pi$. Для функции вида $\text{ctg}(kx)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{4}{3}$.

Период второго слагаемого, $T_2$, равен:

$T_2 = \frac{\pi}{|\frac{4}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{4}{3}} = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

3. Найдем наименьший общий период $T$ для функции $f(x)$, который является наименьшим общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$.

Нужно найти такое наименьшее число $T > 0$, для которого существуют целые числа $n$ и $m$ такие, что $T = n \cdot T_1 = m \cdot T_2$.

$n \cdot \frac{4\pi}{3} = m \cdot \frac{3\pi}{4}$

Разделив обе части на $\pi$, получим:

$n \cdot \frac{4}{3} = m \cdot \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$16n = 9m$

Так как числа 16 и 9 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), наименьшее натуральное решение этого уравнения достигается при $n=9$ и $m=16$.

Теперь найдем общий период $T$, подставив значение $n$ в выражение для $T_1$ (или $m$ в выражение для $T_2$):

$T = n \cdot T_1 = 9 \cdot \frac{4\pi}{3} = 3 \cdot 4\pi = 12\pi$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $f(x)$ равен $12\pi$.

Ответ: $12\pi$.

5. Сравните значения выражений:

1) $ \text{tg} \frac{20\pi}{19} $ и $ \text{tg} \frac{21\pi}{20} $;

2) $ \cos \left( -\frac{16\pi}{33} \right) $ и $ \cos \left( -\frac{17\pi}{35} \right) $.

1) Сравним $ \text{tg}\frac{20\pi}{19} $ и $ \text{tg}\frac{21\pi}{20} $.

Преобразуем аргументы тригонометрических функций, используя периодичность тангенса ($ \text{tg}(x+\pi) = \text{tg}(x) $).

$ \text{tg}\frac{20\pi}{19} = \text{tg}(\frac{19\pi + \pi}{19}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{19}) = \text{tg}\frac{\pi}{19} $.

$ \text{tg}\frac{21\pi}{20} = \text{tg}(\frac{20\pi + \pi}{20}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{20}) = \text{tg}\frac{\pi}{20} $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \text{tg}\frac{\pi}{19} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{20} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{19} $ и $ \frac{\pi}{20} $. Так как $ 19 < 20 $, то $ \frac{1}{19} > \frac{1}{20} $, и, следовательно, $ \frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20} $.

Оба угла, $ \frac{\pi}{19} $ и $ \frac{\pi}{20} $, принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y=\text{tg}(x) $ возрастает.

Поскольку $ \frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20} $, и тангенс на этом промежутке является возрастающей функцией, то $ \text{tg}\frac{\pi}{19} > \text{tg}\frac{\pi}{20} $.

Следовательно, $ \text{tg}\frac{20\pi}{19} > \text{tg}\frac{21\pi}{20} $.

Ответ: $ \text{tg}\frac{20\pi}{19} > \text{tg}\frac{21\pi}{20} $.

2) Сравним $ \cos(-\frac{16\pi}{33}) $ и $ \cos(-\frac{17\pi}{35}) $.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

$ \cos(-\frac{16\pi}{33}) = \cos(\frac{16\pi}{33}) $.

$ \cos(-\frac{17\pi}{35}) = \cos(\frac{17\pi}{35}) $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \cos(\frac{16\pi}{33}) $ и $ \cos(\frac{17\pi}{35}) $.

Сравним аргументы $ \frac{16\pi}{33} $ и $ \frac{17\pi}{35} $. Для этого сравним дроби $ \frac{16}{33} $ и $ \frac{17}{35} $.

Выполним перекрестное умножение: $ 16 \times 35 $ и $ 17 \times 33 $.

$ 16 \times 35 = 560 $.

$ 17 \times 33 = 561 $.

Так как $ 560 < 561 $, то $ \frac{16}{33} < \frac{17}{35} $, следовательно, $ \frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35} $.

Оба угла, $ \frac{16\pi}{33} $ и $ \frac{17\pi}{35} $, меньше чем $ \frac{\pi}{2} $ (так как $ \frac{16}{33} < \frac{16.5}{33} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{17}{35} < \frac{17.5}{35} = \frac{1}{2} $), то есть принадлежат первой четверти, интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y=\cos(x) $ убывает.

Поскольку $ \frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35} $, и косинус на этом промежутке является убывающей функцией, то $ \cos(\frac{16\pi}{33}) > \cos(\frac{17\pi}{35}) $.

Следовательно, $ \cos(-\frac{16\pi}{33}) > \cos(-\frac{17\pi}{35}) $.

Ответ: $ \cos(-\frac{16\pi}{33}) > \cos(-\frac{17\pi}{35}) $.

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $ \cot^2 x \sin^2 x - 5 $.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $y = \operatorname{ctg}^2 x \sin^2 x - 5$ сначала упростим его и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Используем определение котангенса: $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Тогда $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) \cdot \sin^2 x - 5$

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения определяется условием $\sin x \neq 0$, поскольку в определении котангенса присутствует деление на $\sin x$. Это означает, что $x \neq \pi k$ для любого целого $k$.

С учетом ОДЗ, мы можем сократить $\sin^2 x$ в выражении:

$y = \cos^2 x - 5$

Таким образом, задача сводится к поиску наибольшего и наименьшего значений функции $y = \cos^2 x - 5$ при условии $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Учтем наше ограничение $x \neq \pi k$. При $x = \pi k$, значение $\cos^2 x$ равно 1. Так как эти значения $x$ исключены из ОДЗ, то $\cos^2 x$ не может достигать значения 1. При этом значение $\cos^2 x = 0$ достигается (например, при $x = \pi/2$, что входит в ОДЗ). Таким образом, область значений для $\cos^2 x$ в нашей задаче — это полуинтервал $[0, 1)$.

Наименьшее значение

Наименьшее значение выражения $y = \cos^2 x - 5$ достигается при наименьшем возможном значении $\cos^2 x$. Из полуинтервала $[0, 1)$ наименьшее значение равно 0.

Подставляем это значение в выражение:

$y_{наим} = 0 - 5 = -5$

Это значение достигается, например, при $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: -5.

Наибольшее значение

Наибольшее значение выражения $y = \cos^2 x - 5$ достигалось бы при наибольшем возможном значении $\cos^2 x$.

Мы выяснили, что $\cos^2 x$ может принимать значения сколь угодно близкие к 1, но никогда не равняется 1. То есть, $\cos^2 x < 1$.

Это означает, что значение выражения $y = \cos^2 x - 5$ будет всегда меньше, чем $1 - 5 = -4$.

$y < -4$

Поскольку значение выражения может быть сколь угодно близким к -4 (например, -4.000001), но никогда не достигает его, у выражения нет наибольшего значения (максимума). Существует только точная верхняя грань (супремум), равная -4.

Ответ: наибольшего значения не существует.

7. Постройте график функции:

1) $f(x) = 2 \left| \cos \frac{x}{3} \right|;$

2) $y = \sqrt{\cos \frac{1}{2} x - 1} + 1.$

Построение графика функции будем выполнять по шагам, используя преобразования графика основной функции $y = \cos{x}$.

1. Сначала построим график функции $y_1 = \cos{x}$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Далее построим график функции $y_2 = \cos{\frac{x}{3}}$. Этот график получается из графика $y_1 = \cos{x}$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза. Период этой функции $T_2 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$. Амплитуда остается равной 1.

3. Теперь построим график функции $y_3 = \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$. Чтобы получить этот график, нужно часть графика $y_2 = \cos{\frac{x}{3}}$, расположенную ниже оси Ox, симметрично отразить относительно оси Ox. Все значения функции станут неотрицательными. Так как модуль "срезает" отрицательную полуволну и отражает ее вверх, период функции уменьшается вдвое: $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

4. Наконец, построим искомый график функции $f(x) = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$. Этот график получается из графика $y_3 = \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Максимальное значение функции будет $2 \cdot 1 = 2$, а минимальное $2 \cdot 0 = 0$.

Итоговые характеристики графика $f(x) = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$:

• Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [0, 2]$.

• Функция является четной, так как $f(-x) = 2 \left| \cos{\frac{-x}{3}} \right| = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right| = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

• Период функции: $T = 3\pi$.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0 \implies \cos{\frac{x}{3}} = 0 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in Z$.

• Точки максимума: $f(x) = 2 \implies \left| \cos{\frac{x}{3}} \right| = 1 \implies \frac{x}{3} = \pi k \implies x = 3\pi k$, где $k \in Z$.

График представляет собой последовательность "холмов" с высотой 2, которые повторяются с периодом $3\pi$.

Ответ: График функции $f(x) = 2 \left| \cos{\frac{x}{3}} \right|$ строится путем последовательных преобразований графика $y=\cos{x}$: растяжение в 3 раза вдоль оси Ox, отражение отрицательной части графика относительно оси Ox, и растяжение в 2 раза вдоль оси Oy. График представляет собой периодическую кривую с периодом $3\pi$, расположенную в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), с максимумами в точках $x=3\pi k$ (значение 2) и минимумами (нулями) в точках $x=\frac{3\pi}{2} + 3\pi k$.

Для построения графика этой функции сначала найдем ее область определения (ОДЗ).

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$\cos{\frac{1}{2}x} - 1 \ge 0$

$\cos{\frac{1}{2}x} \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение $\cos{\frac{1}{2}x}$ никогда не может быть больше 1. Следовательно, единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это когда $\cos{\frac{1}{2}x}$ равен 1.

$\cos{\frac{1}{2}x} = 1$

Решим это тригонометрическое уравнение:

$\frac{1}{2}x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

$x = 4\pi k$, где $k \in Z$.

Таким образом, область определения функции — это не непрерывный интервал, а набор дискретных (изолированных) точек: $\{\dots, -8\pi, -4\pi, 0, 4\pi, 8\pi, \dots\}$.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Подставим в исходное уравнение условие $\cos{\frac{1}{2}x} = 1$:

$y = \sqrt{1 - 1} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

Это означает, что для любой точки $x$ из области определения значение функции $y$ всегда равно 1.

Таким образом, график данной функции представляет собой бесконечный набор изолированных точек, лежащих на прямой $y=1$. Координаты этих точек $(4\pi k, 1)$ для всех целых $k$.

Например, некоторые из этих точек:

• при $k=0: (0, 1)$

• при $k=1: (4\pi, 1)$

• при $k=-1: (-4\pi, 1)$

• при $k=2: (8\pi, 1)$

Ответ: График функции $y = \sqrt{\cos{\frac{1}{2}}x - 1} + 1$ является набором изолированных точек с координатами $(4\pi k, 1)$, где $k \in Z$.