Страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Степенная функция.

Корень n-й степени и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}}$;

2) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9}$;

3) $\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{6}}$;

4) $\sqrt[4]{216 - 144\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$.

1) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}}$

Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами корня n-ой степени: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8 \cdot 11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}}$

Теперь применим свойство степени для каждого множителя:

$\frac{5^{\frac{8}{4}} \cdot 11^{\frac{4}{4}}}{2^{\frac{16}{4}}} = \frac{5^2 \cdot 11^1}{2^4} = \frac{25 \cdot 11}{16} = \frac{275}{16}$

Выделим целую часть, разделив 275 на 16:

$275 \div 16 = 17$ (остаток $3$)

Таким образом, $\frac{275}{16} = 17 \frac{3}{16}$.

Ответ: $17 \frac{3}{16}$.

2) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{375 \cdot 9}$

Разложим числа под корнем на простые множители, чтобы найти кубы чисел:

$375 = 5 \cdot 75 = 5 \cdot 5 \cdot 15 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 5^3 \cdot 3$

$9 = 3^2$

Подставим разложение в выражение под корнем:

$\sqrt[3]{(5^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3^3}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = 5 \cdot 3 = 15$

Ответ: 15.

3) $\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{6}}$

Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{(9 - 3\sqrt{6}) \cdot (9 + 3\sqrt{6})}$

Выражение в скобках под корнем является произведением сопряженных выражений, которое вычисляется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=9$ и $b=3\sqrt{6}$.

$(9 - 3\sqrt{6})(9 + 3\sqrt{6}) = 9^2 - (3\sqrt{6})^2 = 81 - (3^2 \cdot (\sqrt{6})^2) = 81 - (9 \cdot 6) = 81 - 54 = 27$

Теперь подставим полученное значение обратно под корень:

$\sqrt[3]{27}$

Так как $3^3 = 27$, то корень кубический из 27 равен 3.

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3.

4) $\sqrt[4]{216 - 144\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$

Преобразуем первый множитель. Попробуем представить подкоренное выражение $216 - 144\sqrt{2}$ в виде полного квадрата $(a - b\sqrt{2})^2$.

$(a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}$

Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 + 2b^2 = 216 \\ 2ab = 144 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 + 2b^2 = 216 \\ ab = 72 \end{cases}$

Подбором находим целые решения: $a=12$, $b=6$. Проверим их в первом уравнении:

$12^2 + 2 \cdot 6^2 = 144 + 2 \cdot 36 = 144 + 72 = 216$. Решение верное.

Следовательно, $216 - 144\sqrt{2} = (12 - 6\sqrt{2})^2$.

Подставим это в первый множитель:

$\sqrt[4]{(12 - 6\sqrt{2})^2} = \sqrt{|12 - 6\sqrt{2}|}$

Так как $12 = \sqrt{144}$, а $6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$, то $12 > 6\sqrt{2}$, и выражение $12 - 6\sqrt{2}$ положительно. Значит, модуль можно опустить.

$\sqrt[4]{(12 - 6\sqrt{2})^2} = \sqrt{12 - 6\sqrt{2}}$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\sqrt{12 - 6\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{(12 - 6\sqrt{2})(6 + 3\sqrt{2})}$

Раскроем скобки:

$(12 - 6\sqrt{2})(6 + 3\sqrt{2}) = 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} \cdot 6 - 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 72 + 36\sqrt{2} - 36\sqrt{2} - 18 \cdot 2 = 72 - 36 = 36$

В результате получаем:

$\sqrt{36} = 6$

Ответ: 6.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-5} + 1$ на промежутке $[2; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-5} + 1$ на отрезке $[2; 3]$, необходимо исследовать её поведение на этом отрезке. Стандартный алгоритм включает в себя нахождение производной, определение критических точек и вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции.

Функция может быть записана в виде $y(x) = \frac{1}{x^5} + 1$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:
$y'(x) = (x^{-5} + 1)' = -5 \cdot x^{-5-1} + 0 = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

2. Найдём критические точки.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
а) $y'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{5}{x^6} = 0$. У этого уравнения нет решений, так как числитель $-5 \neq 0$.
б) Производная $y'(x)$ не существует, когда её знаменатель равен нулю: $x^6 = 0$, то есть при $x=0$.
Точка $x=0$ не принадлежит рассматриваемому отрезку $[2; 3]$. Следовательно, на данном отрезке у функции нет критических точек.

3. Определим характер монотонности функции.

Поскольку на отрезке $[2; 3]$ нет критических точек, функция на нём является монотонной. Для определения характера монотонности (возрастание или убывание) найдём знак производной на этом отрезке.
Для любого значения $x$ из отрезка $[2; 3]$, $x$ — положительное число, а значит, и $x^6$ будет положительным.
Тогда производная $y'(x) = -\frac{5}{x^6}$ будет всегда отрицательной (результат деления отрицательного числа на положительное).
Так как $y'(x) < 0$ на всём отрезке $[2; 3]$, функция $y(x)$ является строго убывающей на этом отрезке.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка.

Для монотонно убывающей функции на замкнутом отрезке наибольшее значение достигается в его левой границе, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение функции будет в точке $x=2$:
$y_{наиб} = y(2) = 2^{-5} + 1 = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$.
Наименьшее значение функции будет в точке $x=3$:
$y_{наим} = y(3) = 3^{-5} + 1 = \frac{1}{3^5} + 1 = \frac{1}{243} + 1 = \frac{244}{243}$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[2; 3]$ равно $\frac{33}{32}$, а наименьшее значение равно $\frac{244}{243}$.

3. Упростите выражение:

1) $\sqrt[21]{x^7}$;

2) $\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}}$;

3) $\sqrt[14]{(a-12)^{14}}$, если $a \ge 12$;

4) $\sqrt[24]{(a-12)^6}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[21]{x^7}$ воспользуемся свойством корня, которое можно представить через степень с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$\sqrt[21]{x^7} = x^{\frac{7}{21}}$

Теперь сократим дробь в показателе степени, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

Следовательно, выражение равно $x^{\frac{1}{3}}$, что в виде корня записывается как:

$\sqrt[3]{x}$

Ответ: $\sqrt[3]{x}$

2)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}}$, начнем с внутреннего корня. Внесем множитель $x^5$ под знак кубического корня, используя свойство $b \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b^n a}$.

$x^5 \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{(x^5)^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^{15} \cdot x^1} = \sqrt[3]{x^{15+1}} = \sqrt[3]{x^{16}}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{x^{16}}}$

Применим свойство для корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.

$\sqrt[4 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[12]{x^{16}}$

Теперь можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\sqrt[12]{x^{16}} = x^{\frac{16}{12}} = x^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{x^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня, чтобы упростить окончательно:

$\sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = x\sqrt[3]{x}$

Ответ: $x\sqrt[3]{x}$

3)

Для упрощения выражения $\sqrt[14]{(a-12)^{14}}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{b^n} = |b|$, которое справедливо для любого четного показателя корня $n$.

В данном случае $n=14$, что является четным числом. Поэтому:

$\sqrt[14]{(a-12)^{14}} = |a-12|$

Согласно условию задачи, $a \ge 12$. Это означает, что разность $a-12$ является неотрицательным числом ($a-12 \ge 0$).

По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно:

$|a-12| = a-12$

Ответ: $a-12$

4)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[24]{(a-12)^6}$, мы можем сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель.

Представим выражение в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt[24]{(a-12)^6} = (a-12)^{\frac{6}{24}} = (a-12)^{\frac{1}{4}}$

Однако, нужно учесть область определения. Исходное выражение $\sqrt[24]{(a-12)^6}$ определено для всех действительных $a$, так как подкоренное выражение $(a-12)^6$ всегда неотрицательно (любое число в четной степени). Упрощенное выражение также должно быть определено для всех $a$.

Правило сокращения показателей $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$ требует осторожности. Если $k$ - четное число, то $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{|b|^m}$.

В нашем случае $24 = 4 \cdot 6$ и $6 = 1 \cdot 6$. Здесь $n=4, m=1, k=6$. Поскольку $k=6$ - четное число, при сокращении на 6 необходимо взять основание степени $(a-12)$ по модулю:

$\sqrt[24]{(a-12)^6} = \sqrt[4 \cdot 6]{(a-12)^{1 \cdot 6}} = \sqrt[4]{|a-12|}$

Данное выражение определено для всех $a$, как и исходное.

Ответ: $\sqrt[4]{|a-12|}$

4. Постройте график функции $y = \sqrt[10]{(x-5)^{10}} + \left(\sqrt[10]{x-2}\right)^{10}$

Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых: $y = \sqrt[10]{(x-5)^{10}} + (\sqrt[10]{x-2})^{10}$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции. Первое слагаемое, $\sqrt[10]{(x-5)^{10}}$, определено для всех действительных чисел $x$, так как выражение в скобках возводится в четную степень 10, что делает его неотрицательным. Второе слагаемое, $(\sqrt[10]{x-2})^{10}$, содержит корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, что равносильно $x \ge 2$. Таким образом, область определения всей функции: $x \in [2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции на её области определения. Для корня четной степени из выражения в той же четной степени справедливо тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применяя это к первому слагаемому, получаем: $\sqrt[10]{(x-5)^{10}} = |x-5|$. Для второго слагаемого, на его области определения ($x \ge 2$), возведение в степень 10 является обратной операцией для извлечения корня 10-й степени: $(\sqrt[10]{x-2})^{10} = x-2$. Итак, на области определения $x \ge 2$ функция принимает вид: $y = |x-5| + x - 2$.

Для построения графика необходимо раскрыть модуль $|x-5|$. Выражение под модулем меняет знак в точке $x=5$. Рассмотрим два случая в рамках ОДЗ.

1) Если $2 \le x < 5$, то выражение $x-5$ отрицательно, следовательно, $|x-5| = -(x-5) = 5-x$. Функция на этом промежутке будет выглядеть так: $y = (5-x) + (x-2) = 5 - x + x - 2 = 3$. Таким образом, на промежутке $[2; 5)$ график функции является отрезком горизонтальной прямой $y=3$.

2) Если $x \ge 5$, то выражение $x-5$ неотрицательно, следовательно, $|x-5| = x-5$. Функция на этом промежутке будет выглядеть так: $y = (x-5) + (x-2) = x - 5 + x - 2 = 2x-7$. Таким образом, при $x \ge 5$ график функции является лучом прямой $y=2x-7$.

Объединяя оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} 3, & \text{если } 2 \le x < 5 \\ 2x-7, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

Для построения графика:

• Начинаем с точки $x=2$. При $x=2$, $y=3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.
• На промежутке от $x=2$ до $x=5$ (не включая) строим горизонтальный отрезок на уровне $y=3$. Он заканчивается в точке $(5, 3)$.
• В точке $x=5$ значение функции равно $y=2 \cdot 5 - 7 = 10-7=3$. Таким образом, в точке $(5, 3)$ график непрерывен.
• При $x \ge 5$ строим луч прямой $y=2x-7$. Он начинается в точке $(5, 3)$ и идет вправо-вверх. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x=6$, $y=2 \cdot 6 - 7 = 5$. Луч проходит через точку $(6, 5)$.

Ответ: График функции является ломаной линией, состоящей из двух частей: горизонтального отрезка прямой $y=3$ на промежутке $x \in [2; 5]$ и луча прямой $y=2x-7$ при $x \ge 5$. Точка излома графика - $(5, 3)$.

5. Внесите множитель под знак корня:

1) $(b-2)\sqrt[4]{b-3};$

2) $(5-m)\sqrt[6]{m-1}.$

1) $(b-2)\sqrt[4]{b-3}$

Чтобы внести множитель $(b-2)$ под знак корня 4-й степени (четной степени), необходимо определить знак этого множителя.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$b-3 \ge 0$, откуда $b \ge 3$.

Теперь определим знак множителя $(b-2)$ на ОДЗ. Если $b \ge 3$, то вычитая 2 из обеих частей неравенства, получаем $b-2 \ge 1$. Это означает, что множитель $(b-2)$ всегда является положительным числом.

Поскольку множитель положителен, его можно внести под знак корня, возведя в степень, равную показателю корня (4), по правилу $a \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a^n x}$ для $a \ge 0$.
$(b-2)\sqrt[4]{b-3} = \sqrt[4]{(b-2)^4(b-3)}$.

Ответ: $\sqrt[4]{(b-2)^4(b-3)}$

2) $(5-m)\sqrt[6]{m-1}$

Показатель корня равен 6 (четное число), поэтому для внесения множителя $(5-m)$ под знак корня необходимо учитывать его знак.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$m-1 \ge 0$, что означает $m \ge 1$.

Теперь рассмотрим знак множителя $(5-m)$ на ОДЗ. Возможны два случая.

Случай 1: Множитель $(5-m)$ неотрицателен.
Это условие выполняется, когда $5-m \ge 0$, то есть $m \le 5$. Совмещая с ОДЗ ($m \ge 1$), получаем, что этот случай относится к промежутку $1 \le m \le 5$.
Для неотрицательного множителя $a$ и корня четной степени $n$ справедливо $a \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a^n x}$.
Следовательно, при $1 \le m \le 5$:
$(5-m)\sqrt[6]{m-1} = \sqrt[6]{(5-m)^6(m-1)}$.

Случай 2: Множитель $(5-m)$ отрицателен.
Это условие выполняется, когда $5-m < 0$, то есть $m > 5$. Этот промежуток входит в ОДЗ.
Для отрицательного множителя $a$ и корня четной степени $n$ справедливо $a \sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{(-a)^n x}$.
Здесь $a = 5-m$, значит $-a = -(5-m) = m-5$.
Следовательно, при $m > 5$:
$(5-m)\sqrt[6]{m-1} = -\sqrt[6]{(-(5-m))^6(m-1)} = -\sqrt[6]{(m-5)^6(m-1)}$.

Объединяя оба случая, получаем окончательный результат, который зависит от значения $m$.

Ответ: $(5-m)\sqrt[6]{m-1} = \begin{cases} \sqrt[6]{(5-m)^6(m-1)}, & \text{если } 1 \le m \le 5 \\ -\sqrt[6]{(m-5)^6(m-1)}, & \text{если } m > 5 \end{cases}$

6. Упростите выражение

$ \left( \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{b} - 9} + \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{b} - 6\sqrt[6]{b} + 9} \right) : \frac{2\sqrt[6]{b}}{(3 - \sqrt[6]{b})^2} + \frac{3}{\sqrt[6]{b} + 3} $

Упростите выражение

Для упрощения выражения введем замену переменной. Пусть $x = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{b}$ можно представить как $(\sqrt[6]{b})^2 = x^2$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$\left( \frac{x}{x^2-9} + \frac{x}{x^2-6x+9} \right) : \frac{2x}{(3-x)^2} + \frac{3}{x+3}$

Теперь будем упрощать полученное выражение по действиям.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

$x^2-6x+9 = (x-3)^2$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)^2(x+3)$ и выполним сложение:

$\frac{x}{(x-3)(x+3)} + \frac{x}{(x-3)^2} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2(x+3)} + \frac{x(x+3)}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{x^2 - 3x + x^2 + 3x}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{2x^2}{(x-3)^2(x+3)}$

2. Теперь выполним деление. Заметим, что $(3-x)^2 = (-(x-3))^2 = (x-3)^2$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{2x^2}{(x-3)^2(x+3)} : \frac{2x}{(x-3)^2} = \frac{2x^2}{(x-3)^2(x+3)} \cdot \frac{(x-3)^2}{2x}$

Сократим общие множители $2x$ и $(x-3)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{2x} \cdot x}{\cancel{(x-3)^2}(x+3)} \cdot \frac{\cancel{(x-3)^2}}{\cancel{2x}} = \frac{x}{x+3}$

3. Выполним последнее действие — сложение:

$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} = 1$

Результат не зависит от переменной $b$. Упрощенное выражение равно 1 (при условии, что оно определено).

Ответ: 1

7. Определите количество корней уравнения $(x - a)(\sqrt[4]{x} - 3) = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Для решения уравнения $(x - a)(\sqrt[4]{x} - 3) = 0$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует корень четвертой степени $\sqrt[4]{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

$ \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x - a = 0 \\ \sqrt[4]{x} - 3 = 0 \end{array} \right. \\ x \ge 0 \end{cases} $

Рассмотрим каждое уравнение из совокупности отдельно.

Из первого уравнения $x - a = 0$ получаем потенциальный корень $x_1 = a$. Этот корень будет являться решением исходного уравнения только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть $a \ge 0$.

Из второго уравнения $\sqrt[4]{x} - 3 = 0$ получаем $\sqrt[4]{x} = 3$. Возводя обе части в четвертую степень, находим корень $x_2 = 3^4 = 81$. Этот корень ($x=81$) удовлетворяет ОДЗ ($81 \ge 0$), поэтому он является решением исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

Теперь проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$.

Если $a < 0$, то значение $x_1 = a$ не входит в ОДЗ, и, следовательно, не является корнем уравнения. Единственным корнем в этом случае будет $x_2 = 81$. Таким образом, уравнение имеет один корень.

Если $a \ge 0$, то $x_1 = a$ является корнем, так как удовлетворяет ОДЗ. В этом случае уравнение имеет корни $x_1 = a$ и $x_2 = 81$. Количество различных корней зависит от того, совпадают ли эти два значения.

При $a = 81$, корни совпадают: $x_1 = x_2 = 81$. В этом случае уравнение имеет один корень.

При $a \ge 0$ и $a \ne 81$, корни $x_1 = a$ и $x_2 = 81$ различны. В этом случае уравнение имеет два корня.

Подводя итог, получаем:

Ответ: если $a < 0$ или $a = 81$, то уравнение имеет один корень; если $a \ge 0$ и $a \ne 81$, то уравнение имеет два корня.