Страница 116 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Множества. Высказывания и предикаты

1. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) $8 \subset \{2, 8\}$;

2) $\{\emptyset\} \subset \{2, 8\}$;

3) $\{2\} \subset \{2, 8\}$;

4) $\emptyset \subset \{2, 8\}$.

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какие из них являются верными. Обозначим исходное множество как $A = \{2, 8\}$.

1) $8 \subset \{2, 8\}$
Это утверждение неверно. Знак $\subset$ обозначает отношение «быть подмножеством». Это отношение определено между двумя множествами. В левой части выражения стоит число 8, которое является элементом, а не множеством. Отношение принадлежности элемента множеству обозначается знаком $\in$. Утверждение $8 \in \{2, 8\}$ было бы верным, так как 8 — это элемент множества $\{2, 8\}$. Однако, записанное утверждение $8 \subset \{2, 8\}$ некорректно с точки зрения теории множеств и, следовательно, является ложным.
Ответ: утверждение неверно.

2) $\{\emptyset\} \subset \{2, 8\}$
Это утверждение неверно. Оно утверждает, что множество, состоящее из одного элемента — пустого множества $(\emptyset)$, является подмножеством множества $\{2, 8\}$. Для того чтобы это было истиной, каждый элемент левого множества должен быть также элементом правого множества. Единственный элемент множества $\{\emptyset\}$ — это само пустое множество $\emptyset$. Однако, элементами множества $\{2, 8\}$ являются только числа 2 и 8. Поскольку $\emptyset$ не является ни числом 2, ни числом 8, оно не входит в состав множества $\{2, 8\}$. Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверно.

3) $\{2\} \subset \{2, 8\}$
Это утверждение верно. Оно гласит, что множество, состоящее из одного элемента 2, является подмножеством множества $\{2, 8\}$. По определению, множество $B$ является подмножеством множества $A$, если каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $A$. В данном случае, единственный элемент множества $\{2\}$ — это число 2. Число 2 также является элементом множества $\{2, 8\}$. Таким образом, условие выполняется.
Ответ: утверждение верно.

4) $\emptyset \subset \{2, 8\}$
Это утверждение верно. Пустое множество, обозначаемое как $\emptyset$, по определению является подмножеством любого множества. Это следует из формального определения подмножества: для того чтобы множество $B$ было подмножеством $A$, не должно существовать ни одного элемента в $B$, который не принадлежит $A$. Поскольку в пустом множестве нет элементов, это условие всегда выполняется.
Ответ: утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 3 и 4.

2. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) ${ \{1, 5\} \cap \{5\} = \{1\} }$;

2) ${ \{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\} }$;

3) ${ \{1, 5\} \cap \emptyset = \emptyset }$;

4) ${ \{1, 5\} \cup \emptyset = \{1, 5\} }$;

5) ${ \{1, 5\} \cap \emptyset = \{1, 5\} }$;

6) ${ \{1, 5\} \setminus \{1\} = \{1\} }$.

1) Пересечение множеств (знак $\cap$) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам, и только их. В множествах $\{1, 5\}$ и $\{5\}$ общим элементом является только $5$. Следовательно, верным равенством было бы $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}$. Данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) Исходя из определения операции пересечения, данным в предыдущем пункте, общим элементом для множеств $\{1, 5\}$ и $\{5\}$ является элемент $5$. Следовательно, утверждение $\{1, 5\} \cap \{5\} = \{5\}$ является верным.
Ответ: верно.

3) Пустое множество ($\varnothing$) не содержит никаких элементов. Поэтому при пересечении любого множества с пустым множеством не может быть общих элементов. Результатом такой операции всегда будет пустое множество. Утверждение $\{1, 5\} \cap \varnothing = \varnothing$ является верным.
Ответ: верно.

4) Объединение множеств (знак $\cup$) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. При объединении множества $\{1, 5\}$ с пустым множеством ($\varnothing$) итоговое множество будет содержать все элементы из $\{1, 5\}$, так как пустое множество не добавляет новых элементов. Утверждение $\{1, 5\} \cup \varnothing = \{1, 5\}$ является верным.
Ответ: верно.

5) Как было указано в пункте 3, пересечение любого множества с пустым множеством равно пустому множеству. Утверждение $\{1, 5\} \cap \varnothing = \{1, 5\}$ неверно.
Ответ: неверно.

6) Разность множеств $A \setminus B$ (или $A - B$) — это операция, результатом которой является множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$. В данном случае из множества $\{1, 5\}$ нужно удалить элементы, которые есть в множестве $\{1\}$. Таким элементом является $1$. В результате останется множество $\{5\}$. Утверждение $\{1, 5\} \setminus \{1\} = \{1\}$ неверно.
Ответ: неверно.

3. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания. Известно, что $f(B)=1$ и $f(\overline{A} \lor \overline{B})=1$. Найдите $f(A)$.

По условию задачи, $f$ — это функция истинности, которая присваивает высказываниям значения $1$ (истина) или $0$ (ложь). Нам известны два факта:

1. $f(B) = 1$

2. $f(\bar{A} \lor \bar{B}) = 1$

Рассмотрим первое условие: $f(B) = 1$. Это означает, что высказывание $B$ является истинным.

Если высказывание $B$ истинно, то его отрицание, $\bar{B}$, является ложным. Следовательно, значение функции истинности для $\bar{B}$ равно $0$:

$f(\bar{B}) = 0$.

Теперь обратимся ко второму условию: $f(\bar{A} \lor \bar{B}) = 1$. Это означает, что дизъюнкция (логическое «ИЛИ») высказываний $\bar{A}$ и $\bar{B}$ является истинной.

Дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих высказываний истинно. Нам уже известно, что высказывание $\bar{B}$ ложно, то есть $f(\bar{B}) = 0$.

Для того чтобы выражение $\bar{A} \lor \bar{B}$ было истинным при ложном $\bar{B}$, необходимо, чтобы высказывание $\bar{A}$ было истинным. Таким образом, мы приходим к выводу, что:

$f(\bar{A}) = 1$.

Если отрицание высказывания $A$, то есть $\bar{A}$, является истинным, то само высказывание $A$ должно быть ложным.

Следовательно, искомое значение функции истинности для $A$ равно $0$.

Ответ: $f(A) = 0$.

4. Вместо * поставьте один из кванторов $ \forall $ или $ \exists $, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) $ (*x \in \mathbf{R})(x^2(x^2 + 4) > 0) $;

2) $ (*n \in \mathbf{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10) $.

1) Рассмотрим высказывание $(*x \in \mathbb{R})(x^2(x^2 + 4) > 0)$.

Чтобы определить, какой из кванторов — всеобщности $(\forall)$ или существования $(\exists)$ — делает это высказывание истинным, проанализируем неравенство $x^2(x^2 + 4) > 0$.

Выражение состоит из двух множителей: $x^2$ и $(x^2 + 4)$.

• Множитель $(x^2 + 4)$ всегда строго положителен для любого действительного числа $x \in \mathbb{R}$, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 4 \ge 4 > 0$.
• Множитель $x^2$ неотрицателен, т.е. $x^2 \ge 0$. Он равен нулю только при $x = 0$ и строго положителен при всех $x \neq 0$.

Произведение $x^2(x^2 + 4)$ будет строго больше нуля тогда и только тогда, когда оба множителя положительны. Так как $(x^2+4)$ всегда положителен, неравенство сводится к $x^2 > 0$, что верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Если $x = 0$, то выражение равно $0^2(0^2 + 4) = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Теперь проверим утверждения с каждым из кванторов:

• С квантором всеобщности $\forall$: высказывание $(\forall x \in \mathbb{R})(x^2(x^2 + 4) > 0)$ означает, что неравенство выполняется для любого действительного числа $x$. Это утверждение ложно, так как для $x = 0$ оно не выполняется.
• С квантором существования $\exists$: высказывание $(\exists x \in \mathbb{R})(x^2(x^2 + 4) > 0)$ означает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого неравенство выполняется. Это утверждение истинно, так как неравенство верно для любого $x \neq 0$ (например, для $x=1$ имеем $1^2(1^2+4) = 5 > 0$).

Следовательно, для образования истинного высказывания необходимо использовать квантор существования $\exists$.

Ответ: $\exists$.

2) Рассмотрим высказывание $(*n \in \mathbb{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10)$.

Областью определения является множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Утверждение, что "$11^n - 1$ кратно 10", означает, что число $11^n-1$ оканчивается на 0, или, что то же самое, число $11^n$ оканчивается на 1.

Проверим это утверждение для нескольких первых значений $n$:

• При $n=1$: $11^1 - 1 = 10$. $10$ кратно $10$.
• При $n=2$: $11^2 - 1 = 121 - 1 = 120$. $120$ кратно $10$.
• При $n=3$: $11^3 - 1 = 1331 - 1 = 1330$. $1330$ кратно $10$.

Заметим, что любое натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, $11^n$ всегда оканчивается на 1 для любого $n \in \mathbb{N}$. Тогда разность $11^n - 1$ всегда будет оканчиваться на 0, а значит, будет кратна 10.

Докажем это строго, используя сравнения по модулю. Нам нужно показать, что $11^n - 1 \equiv 0 \pmod{10}$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Основание степени $11$ при делении на $10$ дает в остатке $1$, то есть $11 \equiv 1 \pmod{10}$.

По свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$. Возводя обе части сравнения в степень $n$, получаем:

$11^n \equiv 1^n \pmod{10}$

Так как $1^n = 1$ для любого $n$, то:

$11^n \equiv 1 \pmod{10}$

Это доказывает, что $11^n - 1$ делится на $10$ для всех натуральных чисел $n$.

Теперь проверим утверждения с каждым из кванторов:

• С квантором всеобщности $\forall$: высказывание $(\forall n \in \mathbb{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10)$ истинно, поскольку мы доказали, что свойство выполняется для каждого натурального $n$.
• С квантором существования $\exists$: высказывание $(\exists n \in \mathbb{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10)$ также истинно, так как если свойство верно для всех $n$, оно верно и хотя бы для одного.

Поскольку утверждение справедливо для всех без исключения элементов множества $\mathbb{N}$, наиболее точным и полным будет высказывание с квантором всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$.

5. В классе 28 учащихся. Из них 14 посещают математический кружок, 16 — физический и только 7 — оба этих кружка. Сколько учащихся класса не посещают ни один из этих кружков?

Для решения задачи необходимо найти общее количество учеников, которые посещают хотя бы один кружок, а затем вычесть это число из общего количества учеников в классе.

Воспользуемся формулой включений-исключений. Общее число учеников, посещающих хотя бы один кружок, равно сумме учеников в каждом кружке минус число учеников, посещающих оба кружка (так как мы их посчитали дважды).

Количество учеников, посещающих хотя бы один кружок = (ученики на математике) + (ученики на физике) - (ученики на обоих кружках).

Подставим значения из условия задачи:

$14 + 16 - 7 = 23$

Итак, 23 ученика посещают хотя бы один из кружков.

Теперь найдем количество учащихся, которые не посещают ни один кружок. Для этого из общего числа учащихся в классе вычтем количество тех, кто посещает хотя бы один кружок:

$28 - 23 = 5$

Ответ: 5.

6. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{3k}$, где $k \in N$, счётно.

По определению, множество является счётным, если между его элементами и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}$ можно установить взаимно-однозначное соответствие, то есть построить биекцию.

Пусть дано множество $A = \{ \frac{1}{3k} | k \in \mathbb{N} \}$.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to A$, которая каждому натуральному числу $k$ ставит в соответствие элемент множества $A$ по правилу $f(k) = \frac{1}{3k}$.

Чтобы доказать, что множество $A$ счётно, достаточно доказать, что функция $f$ является биекцией. Для этого проверим два условия: инъективность и сюръективность.

1. Инъективность (разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений)
Пусть $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$ и $f(k_1) = f(k_2)$. По определению нашей функции это означает: $$ \frac{1}{3k_1} = \frac{1}{3k_2} $$ Из этого равенства следует, что $3k_1 = 3k_2$, а значит $k_1 = k_2$. Таким образом, если образы элементов совпадают, то и сами элементы совпадают. Это доказывает инъективность функции $f$.

2. Сюръективность (каждый элемент из области значений является образом хотя бы одного элемента из области определения)
Возьмем произвольный элемент $y$ из множества $A$. По определению множества $A$, этот элемент имеет вид $y = \frac{1}{3k}$ для некоторого натурального числа $k \in \mathbb{N}$. Для этого $k$ значение нашей функции будет $f(k) = \frac{1}{3k} = y$. Это означает, что для любого элемента $y \in A$ существует прообраз $k \in \mathbb{N}$. Это доказывает сюръективность функции $f$.

Поскольку функция $f$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Наличие биекции между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством $A$ доказывает, что множество $A$ счётно.

Ответ: Существование биекции $f(k) = \frac{1}{3k}$ между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством чисел вида $\frac{1}{3k}$ доказывает, что данное множество счётно.

7. Множество B содержит 27 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

Пусть задано множество $B$, содержащее $n$ элементов. По условию, $n=27$.

Количество всех возможных подмножеств множества из $n$ элементов равно $2^n$.

Количество подмножеств, содержащих ровно $k$ элементов, вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Нам необходимо сравнить количество подмножеств с чётным числом элементов и с нечётным числом элементов.

Пусть $N_{чёт}$ — это количество подмножеств с чётным числом элементов. Это сумма количеств подмножеств с 0, 2, 4, ... элементами.

$N_{чёт} = C_{27}^0 + C_{27}^2 + C_{27}^4 + \dots + C_{27}^{26}$

Пусть $N_{нечёт}$ — это количество подмножеств с нечётным числом элементов. Это сумма количеств подмножеств с 1, 3, 5, ... элементами.

$N_{нечёт} = C_{27}^1 + C_{27}^3 + C_{27}^5 + \dots + C_{27}^{27}$

Для сравнения этих двух сумм воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

Подставим $n=27$, $x=1$ и $y=-1$:

$(1 + (-1))^{27} = C_{27}^0 (1)^{27}(-1)^0 + C_{27}^1 (1)^{26}(-1)^1 + C_{27}^2 (1)^{25}(-1)^2 + \dots + C_{27}^{27} (1)^0(-1)^{27}$

Упростим левую и правую части уравнения:

$0^{27} = C_{27}^0 - C_{27}^1 + C_{27}^2 - C_{27}^3 + \dots - C_{27}^{27}$

$0 = (C_{27}^0 + C_{27}^2 + C_{27}^4 + \dots + C_{27}^{26}) - (C_{27}^1 + C_{27}^3 + C_{27}^5 + \dots + C_{27}^{27})$

Это равенство можно записать как:

$0 = N_{чёт} - N_{нечёт}$

Отсюда следует, что $N_{чёт} = N_{нечёт}$.

Таким образом, количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.

Ответ: Количество подмножеств с чётным количеством элементов равно количеству подмножеств с нечётным количеством элементов.