Номер 4, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Вместо * поставьте один из кванторов $ \forall $ или $ \exists $, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) $ (*x \in \mathbf{R})(x^2(x^2 + 4) > 0) $;

2) $ (*n \in \mathbf{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10) $.

1) Рассмотрим высказывание $(*x \in \mathbb{R})(x^2(x^2 + 4) > 0)$.

Чтобы определить, какой из кванторов — всеобщности $(\forall)$ или существования $(\exists)$ — делает это высказывание истинным, проанализируем неравенство $x^2(x^2 + 4) > 0$.

Выражение состоит из двух множителей: $x^2$ и $(x^2 + 4)$.

• Множитель $(x^2 + 4)$ всегда строго положителен для любого действительного числа $x \in \mathbb{R}$, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 4 \ge 4 > 0$.
• Множитель $x^2$ неотрицателен, т.е. $x^2 \ge 0$. Он равен нулю только при $x = 0$ и строго положителен при всех $x \neq 0$.

Произведение $x^2(x^2 + 4)$ будет строго больше нуля тогда и только тогда, когда оба множителя положительны. Так как $(x^2+4)$ всегда положителен, неравенство сводится к $x^2 > 0$, что верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Если $x = 0$, то выражение равно $0^2(0^2 + 4) = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Теперь проверим утверждения с каждым из кванторов:

• С квантором всеобщности $\forall$: высказывание $(\forall x \in \mathbb{R})(x^2(x^2 + 4) > 0)$ означает, что неравенство выполняется для любого действительного числа $x$. Это утверждение ложно, так как для $x = 0$ оно не выполняется.
• С квантором существования $\exists$: высказывание $(\exists x \in \mathbb{R})(x^2(x^2 + 4) > 0)$ означает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого неравенство выполняется. Это утверждение истинно, так как неравенство верно для любого $x \neq 0$ (например, для $x=1$ имеем $1^2(1^2+4) = 5 > 0$).

Следовательно, для образования истинного высказывания необходимо использовать квантор существования $\exists$.

Ответ: $\exists$.

2) Рассмотрим высказывание $(*n \in \mathbb{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10)$.

Областью определения является множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

Утверждение, что "$11^n - 1$ кратно 10", означает, что число $11^n-1$ оканчивается на 0, или, что то же самое, число $11^n$ оканчивается на 1.

Проверим это утверждение для нескольких первых значений $n$:

• При $n=1$: $11^1 - 1 = 10$. $10$ кратно $10$.
• При $n=2$: $11^2 - 1 = 121 - 1 = 120$. $120$ кратно $10$.
• При $n=3$: $11^3 - 1 = 1331 - 1 = 1330$. $1330$ кратно $10$.

Заметим, что любое натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, $11^n$ всегда оканчивается на 1 для любого $n \in \mathbb{N}$. Тогда разность $11^n - 1$ всегда будет оканчиваться на 0, а значит, будет кратна 10.

Докажем это строго, используя сравнения по модулю. Нам нужно показать, что $11^n - 1 \equiv 0 \pmod{10}$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Основание степени $11$ при делении на $10$ дает в остатке $1$, то есть $11 \equiv 1 \pmod{10}$.

По свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$. Возводя обе части сравнения в степень $n$, получаем:

$11^n \equiv 1^n \pmod{10}$

Так как $1^n = 1$ для любого $n$, то:

$11^n \equiv 1 \pmod{10}$

Это доказывает, что $11^n - 1$ делится на $10$ для всех натуральных чисел $n$.

Теперь проверим утверждения с каждым из кванторов:

• С квантором всеобщности $\forall$: высказывание $(\forall n \in \mathbb{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10)$ истинно, поскольку мы доказали, что свойство выполняется для каждого натурального $n$.
• С квантором существования $\exists$: высказывание $(\exists n \in \mathbb{N})(11^n - 1 \text{ кратно } 10)$ также истинно, так как если свойство верно для всех $n$, оно верно и хотя бы для одного.

Поскольку утверждение справедливо для всех без исключения элементов множества $\mathbb{N}$, наиболее точным и полным будет высказывание с квантором всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$.