Номер 2, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^8 - 6x^4 + 2;$

2) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5};$

3) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}.$

Чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (её называют функцией общего вида).

1) $y = x^8 - 6x^4 + 2$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^8 - 6x^4 + 2$.

1. Область определения $D(f)$: так как функция является многочленом, она определена для всех действительных чисел, т.е. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^8 - 6(-x)^4 + 2$

Поскольку $(-x)$ в чётной степени равен $x$ в той же степени (например, $(-x)^2 = x^2, (-x)^4 = x^4$), получаем:

$f(-x) = x^8 - 6x^4 + 2$

3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$. Видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 8}{x^5}$.

1. Область определения $D(f)$: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^5 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 8}{(-x)^5} = \frac{x^2 - 8}{-x^5} = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$

3. Сравниваем $f(-x)$ с $-f(x)$.

$-f(x) = -\left(\frac{x^2 - 8}{x^5}\right) = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$

Получаем, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$.

1. Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность. Область определения несимметрична относительно начала координат, так как точка $x=-4$ принадлежит области определения, а точка $x=4$ — нет.

Поскольку основное условие симметричности области определения не выполнено, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Дополнительно можно упростить функцию:

$f(x) = \frac{x(x - 4)}{x - 4}$

При $x \neq 4$ дробь можно сократить, и мы получим $f(x) = x$. Таким образом, это функция $y=x$ с "выколотой" точкой при $x=4$. Её область определения несимметрична, поэтому функция относится к функциям общего вида.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.