Номер 6, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x|-3| = a - x$ имеет один корень?

Решим данную задачу графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |2|x| - 3|$ и $y = a - x$.

1. Построение графика функции $y = |2|x| - 3|$.

Построение будем выполнять в несколько шагов:

а) Сначала построим график функции $y = 2|x| - 3$. При $x \ge 0$ функция принимает вид $y = 2x - 3$ (прямая). При $x < 0$ функция принимает вид $y = 2(-x) - 3 = -2x - 3$ (прямая). График этой функции представляет собой "галочку" (V-образную кривую) с вершиной в точке $(0, -3)$ и пересечением с осью Ox в точках $x = 1.5$ и $x = -1.5$.

б) Теперь построим график функции $y = |2|x| - 3|$. Для этого часть графика функции $y = 2|x| - 3$, которая находится ниже оси Ox (то есть, где $y < 0$), нужно симметрично отразить относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений. Вершина $(0, -3)$ перейдет в точку $(0, 3)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1.5, 0)$ и $(1.5, 0)$ останутся на месте. В итоге мы получим график, по форме напоминающий букву "W". Он состоит из четырех отрезков прямых.

Функцию $y = |2|x| - 3|$ можно задать кусочно:$y(x) = \begin{cases} -2x-3, & \text{при } x \le -1.5 \\ 2x+3, & \text{при } -1.5 < x \le 0 \\ -2x+3, & \text{при } 0 < x < 1.5 \\ 2x-3, & \text{при } x \ge 1.5 \end{cases}$Ключевые точки (изломы) графика: $(-1.5, 0)$, $(0, 3)$ и $(1.5, 0)$.

2. Исследование семейства прямых $y = a - x$.

Функция $y = a - x$ или $y = -x + a$ представляет собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) равным $-1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси Oy; при увеличении $a$ прямая сдвигается вверх.

3. Нахождение числа точек пересечения.

Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых прямая $y = a - x$ пересекает график $y = |2|x| - 3|$ ровно в одной точке. Проанализируем, как меняется число точек пересечения при изменении параметра $a$.

Будем "двигать" прямую $y = a - x$ снизу вверх, увеличивая параметр $a$.

• Если прямая проходит ниже левой и правой нижних вершин графика "W" (точек $(-1.5, 0)$ и $(1.5, 0)$), то пересечений нет.
• Первое пересечение возникнет, когда прямая коснется одной из нижних вершин. Найдем значение $a$, при котором прямая проходит через левую вершину $(-1.5, 0)$:$0 = a - (-1.5) \Rightarrow 0 = a + 1.5 \Rightarrow a = -1.5$. При $a = -1.5$ прямая $y = -x - 1.5$ касается графика в точке $(-1.5, 0)$. Так как угловой коэффициент прямой ($-1$) не совпадает с угловыми коэффициентами участков графика ($-2$ и $2$), то в этой точке происходит именно касание (одна общая точка), а не пересечение с заходом внутрь фигуры. Это единственная точка пересечения. Таким образом, при $a=-1.5$ уравнение имеет один корень.
• Если немного увеличить $a$ ($-1.5 < a < 1.5$), прямая будет пересекать левую "сторону" графика в двух точках.
• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через правую вершину $(1.5, 0)$:$0 = a - 1.5 \Rightarrow a = 1.5$. При $a=1.5$ прямая $y = -x + 1.5$ проходит через точку $(1.5, 0)$. При этом она также пересекает график в двух других точках (на участках $x \le -1.5$ и $-1.5 < x \le 0$). Всего получается 3 точки пересечения.
• При дальнейшем увеличении $a$ ($1.5 < a < 3$) прямая будет пересекать все четыре участка графика, что даст 4 точки пересечения.
• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через верхнюю вершину $(0, 3)$:$3 = a - 0 \Rightarrow a = 3$. При $a=3$ прямая $y = -x + 3$ проходит через точку $(0, 3)$ и пересекает график еще в двух точках. Всего 3 точки пересечения.
• При $a > 3$ прямая будет пересекать только два крайних луча графика. Всего 2 точки пересечения.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет ровно один корень, соответствует случаю касания прямой графика в левой нижней вершине.

Ответ: $a = -1.5$.