Номер 4, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции $y = \sqrt[10]{(x-5)^{10}} + \left(\sqrt[10]{x-2}\right)^{10}$

Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых: $y = \sqrt[10]{(x-5)^{10}} + (\sqrt[10]{x-2})^{10}$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции. Первое слагаемое, $\sqrt[10]{(x-5)^{10}}$, определено для всех действительных чисел $x$, так как выражение в скобках возводится в четную степень 10, что делает его неотрицательным. Второе слагаемое, $(\sqrt[10]{x-2})^{10}$, содержит корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, что равносильно $x \ge 2$. Таким образом, область определения всей функции: $x \in [2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции на её области определения. Для корня четной степени из выражения в той же четной степени справедливо тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применяя это к первому слагаемому, получаем: $\sqrt[10]{(x-5)^{10}} = |x-5|$. Для второго слагаемого, на его области определения ($x \ge 2$), возведение в степень 10 является обратной операцией для извлечения корня 10-й степени: $(\sqrt[10]{x-2})^{10} = x-2$. Итак, на области определения $x \ge 2$ функция принимает вид: $y = |x-5| + x - 2$.

Для построения графика необходимо раскрыть модуль $|x-5|$. Выражение под модулем меняет знак в точке $x=5$. Рассмотрим два случая в рамках ОДЗ.

1) Если $2 \le x < 5$, то выражение $x-5$ отрицательно, следовательно, $|x-5| = -(x-5) = 5-x$. Функция на этом промежутке будет выглядеть так: $y = (5-x) + (x-2) = 5 - x + x - 2 = 3$. Таким образом, на промежутке $[2; 5)$ график функции является отрезком горизонтальной прямой $y=3$.

2) Если $x \ge 5$, то выражение $x-5$ неотрицательно, следовательно, $|x-5| = x-5$. Функция на этом промежутке будет выглядеть так: $y = (x-5) + (x-2) = x - 5 + x - 2 = 2x-7$. Таким образом, при $x \ge 5$ график функции является лучом прямой $y=2x-7$.

Объединяя оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} 3, & \text{если } 2 \le x < 5 \\ 2x-7, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

Для построения графика:

• Начинаем с точки $x=2$. При $x=2$, $y=3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.
• На промежутке от $x=2$ до $x=5$ (не включая) строим горизонтальный отрезок на уровне $y=3$. Он заканчивается в точке $(5, 3)$.
• В точке $x=5$ значение функции равно $y=2 \cdot 5 - 7 = 10-7=3$. Таким образом, в точке $(5, 3)$ график непрерывен.
• При $x \ge 5$ строим луч прямой $y=2x-7$. Он начинается в точке $(5, 3)$ и идет вправо-вверх. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x=6$, $y=2 \cdot 6 - 7 = 5$. Луч проходит через точку $(6, 5)$.

Ответ: График функции является ломаной линией, состоящей из двух частей: горизонтального отрезка прямой $y=3$ на промежутке $x \in [2; 5]$ и луча прямой $y=2x-7$ при $x \ge 5$. Точка излома графика - $(5, 3)$.