Номер 1, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Степенная функция.

Корень n-й степени и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}}$;

2) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9}$;

3) $\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{6}}$;

4) $\sqrt[4]{216 - 144\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$.

1) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}}$

Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами корня n-ой степени: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8 \cdot 11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}}$

Теперь применим свойство степени для каждого множителя:

$\frac{5^{\frac{8}{4}} \cdot 11^{\frac{4}{4}}}{2^{\frac{16}{4}}} = \frac{5^2 \cdot 11^1}{2^4} = \frac{25 \cdot 11}{16} = \frac{275}{16}$

Выделим целую часть, разделив 275 на 16:

$275 \div 16 = 17$ (остаток $3$)

Таким образом, $\frac{275}{16} = 17 \frac{3}{16}$.

Ответ: $17 \frac{3}{16}$.

2) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{375 \cdot 9}$

Разложим числа под корнем на простые множители, чтобы найти кубы чисел:

$375 = 5 \cdot 75 = 5 \cdot 5 \cdot 15 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 5^3 \cdot 3$

$9 = 3^2$

Подставим разложение в выражение под корнем:

$\sqrt[3]{(5^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3^3}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = 5 \cdot 3 = 15$

Ответ: 15.

3) $\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{6}}$

Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{(9 - 3\sqrt{6}) \cdot (9 + 3\sqrt{6})}$

Выражение в скобках под корнем является произведением сопряженных выражений, которое вычисляется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=9$ и $b=3\sqrt{6}$.

$(9 - 3\sqrt{6})(9 + 3\sqrt{6}) = 9^2 - (3\sqrt{6})^2 = 81 - (3^2 \cdot (\sqrt{6})^2) = 81 - (9 \cdot 6) = 81 - 54 = 27$

Теперь подставим полученное значение обратно под корень:

$\sqrt[3]{27}$

Так как $3^3 = 27$, то корень кубический из 27 равен 3.

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3.

4) $\sqrt[4]{216 - 144\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$

Преобразуем первый множитель. Попробуем представить подкоренное выражение $216 - 144\sqrt{2}$ в виде полного квадрата $(a - b\sqrt{2})^2$.

$(a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}$

Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 + 2b^2 = 216 \\ 2ab = 144 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 + 2b^2 = 216 \\ ab = 72 \end{cases}$

Подбором находим целые решения: $a=12$, $b=6$. Проверим их в первом уравнении:

$12^2 + 2 \cdot 6^2 = 144 + 2 \cdot 36 = 144 + 72 = 216$. Решение верное.

Следовательно, $216 - 144\sqrt{2} = (12 - 6\sqrt{2})^2$.

Подставим это в первый множитель:

$\sqrt[4]{(12 - 6\sqrt{2})^2} = \sqrt{|12 - 6\sqrt{2}|}$

Так как $12 = \sqrt{144}$, а $6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$, то $12 > 6\sqrt{2}$, и выражение $12 - 6\sqrt{2}$ положительно. Значит, модуль можно опустить.

$\sqrt[4]{(12 - 6\sqrt{2})^2} = \sqrt{12 - 6\sqrt{2}}$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\sqrt{12 - 6\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt{(12 - 6\sqrt{2})(6 + 3\sqrt{2})}$

Раскроем скобки:

$(12 - 6\sqrt{2})(6 + 3\sqrt{2}) = 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} \cdot 6 - 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 72 + 36\sqrt{2} - 36\sqrt{2} - 18 \cdot 2 = 72 - 36 = 36$

В результате получаем:

$\sqrt{36} = 6$

Ответ: 6.