Номер 3, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Упростите выражение:

1) $\sqrt[21]{x^7}$;

2) $\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}}$;

3) $\sqrt[14]{(a-12)^{14}}$, если $a \ge 12$;

4) $\sqrt[24]{(a-12)^6}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[21]{x^7}$ воспользуемся свойством корня, которое можно представить через степень с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$\sqrt[21]{x^7} = x^{\frac{7}{21}}$

Теперь сократим дробь в показателе степени, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

Следовательно, выражение равно $x^{\frac{1}{3}}$, что в виде корня записывается как:

$\sqrt[3]{x}$

Ответ: $\sqrt[3]{x}$

2)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}}$, начнем с внутреннего корня. Внесем множитель $x^5$ под знак кубического корня, используя свойство $b \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b^n a}$.

$x^5 \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{(x^5)^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^{15} \cdot x^1} = \sqrt[3]{x^{15+1}} = \sqrt[3]{x^{16}}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{x^{16}}}$

Применим свойство для корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.

$\sqrt[4 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[12]{x^{16}}$

Теперь можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\sqrt[12]{x^{16}} = x^{\frac{16}{12}} = x^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{x^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня, чтобы упростить окончательно:

$\sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = x\sqrt[3]{x}$

Ответ: $x\sqrt[3]{x}$

3)

Для упрощения выражения $\sqrt[14]{(a-12)^{14}}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{b^n} = |b|$, которое справедливо для любого четного показателя корня $n$.

В данном случае $n=14$, что является четным числом. Поэтому:

$\sqrt[14]{(a-12)^{14}} = |a-12|$

Согласно условию задачи, $a \ge 12$. Это означает, что разность $a-12$ является неотрицательным числом ($a-12 \ge 0$).

По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно:

$|a-12| = a-12$

Ответ: $a-12$

4)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[24]{(a-12)^6}$, мы можем сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель.

Представим выражение в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt[24]{(a-12)^6} = (a-12)^{\frac{6}{24}} = (a-12)^{\frac{1}{4}}$

Однако, нужно учесть область определения. Исходное выражение $\sqrt[24]{(a-12)^6}$ определено для всех действительных $a$, так как подкоренное выражение $(a-12)^6$ всегда неотрицательно (любое число в четной степени). Упрощенное выражение также должно быть определено для всех $a$.

Правило сокращения показателей $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$ требует осторожности. Если $k$ - четное число, то $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{|b|^m}$.

В нашем случае $24 = 4 \cdot 6$ и $6 = 1 \cdot 6$. Здесь $n=4, m=1, k=6$. Поскольку $k=6$ - четное число, при сокращении на 6 необходимо взять основание степени $(a-12)$ по модулю:

$\sqrt[24]{(a-12)^6} = \sqrt[4 \cdot 6]{(a-12)^{1 \cdot 6}} = \sqrt[4]{|a-12|}$

Данное выражение определено для всех $a$, как и исходное.

Ответ: $\sqrt[4]{|a-12|}$