Номер 5, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Решим неравенство $(x-6)(x+11)(x-14) < 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x-6)(x+11)(x-14) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 6$, $x_2 = -11$, $x_3 = 14$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

Корни разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; 6)$, $(6; 14)$ и $(14; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=15$: $(15-6)(15+11)(15-14) > 0$. Значит, на интервале $(14; +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах чередуются: `-, +, -, +`.

Нам нужно найти, где выражение меньше нуля, то есть выбрать интервалы со знаком "минус".

Это интервалы $(-\infty; -11)$ и $(6; 14)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (6; 14)$.

Решим неравенство $(7-x)(x-11)(x-9)^2 \le 0$.

Преобразуем множитель $(7-x)$ к виду $(x-a)$: $7-x = -(x-7)$.

Неравенство принимает вид: $-(x-7)(x-11)(x-9)^2 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x-7)(x-11)(x-9)^2 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $(x-7)(x-11)(x-9)^2 = 0$.

Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 11$, $x_3 = 9$. Обратите внимание, что корень $x=9$ имеет кратность 2 (четная кратность).

Отметим точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, все точки будут закрашенными.

Определим знаки на интервалах. Для $x > 11$ (например, $x=12$) выражение $(12-7)(12-11)(12-9)^2$ положительно.

При переходе через корень $x=11$ (нечетная кратность) знак меняется. При переходе через корень $x=9$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через корень $x=7$ (нечетная кратность) знак меняется.

Знаки на интервалах: `+, -, -, +`.

Нам нужно найти, где выражение $(x-7)(x-11)(x-9)^2 \ge 0$. Это интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю.

Интервалы: $(-\infty; 7]$ и $[11; +\infty)$.

Также, поскольку неравенство нестрогое, решением является и точка $x=9$, в которой выражение равно нулю.

Объединяя решения, получаем: $(-\infty; 7] \cup \{9\} \cup [11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7] \cup \{9\} \cup [11; +\infty)$.

Решим неравенство $\frac{x}{x-4} - \frac{6}{x} - \frac{16}{x^2 - 4x} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$

$x \ne 0$

$x^2 - 4x \ne 0 \Rightarrow x(x-4) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne 4$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x-4)} - \frac{6 \cdot (x-4)}{x(x-4)} - \frac{16}{x(x-4)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 6(x-4) - 16}{x(x-4)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 6x + 24 - 16}{x(x-4)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 6x + 8}{x(x-4)} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1+x_2=6$ и $x_1 \cdot x_2=8$. Корни $x_1=2$ и $x_2=4$.

Тогда $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

Подставим в неравенство:

$\frac{(x-2)(x-4)}{x(x-4)} \ge 0$

Сократим дробь на $(x-4)$, учитывая ОДЗ ($x \ne 4$):

$\frac{x-2}{x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=2$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Отметим точки на числовой прямой. $x=2$ будет закрашенной (нестрогое неравенство), $x=0$ - выколотой (знаменатель).

Определим знаки. При $x > 2$, выражение положительно. Далее знаки чередуются. Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Решение неравенства $\frac{x-2}{x} \ge 0$ есть $x \in (-\infty; 0) \cup [2; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ, а именно $x \ne 4$. Точка $x=4$ входит в полученное решение, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $(-\infty; 0) \cup [2; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [2; 4) \cup (4; +\infty)$.