Номер 6, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{3k}$, где $k \in N$, счётно.

По определению, множество является счётным, если между его элементами и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}$ можно установить взаимно-однозначное соответствие, то есть построить биекцию.

Пусть дано множество $A = \{ \frac{1}{3k} | k \in \mathbb{N} \}$.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to A$, которая каждому натуральному числу $k$ ставит в соответствие элемент множества $A$ по правилу $f(k) = \frac{1}{3k}$.

Чтобы доказать, что множество $A$ счётно, достаточно доказать, что функция $f$ является биекцией. Для этого проверим два условия: инъективность и сюръективность.

1. Инъективность (разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений)
Пусть $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$ и $f(k_1) = f(k_2)$. По определению нашей функции это означает: $$ \frac{1}{3k_1} = \frac{1}{3k_2} $$ Из этого равенства следует, что $3k_1 = 3k_2$, а значит $k_1 = k_2$. Таким образом, если образы элементов совпадают, то и сами элементы совпадают. Это доказывает инъективность функции $f$.

2. Сюръективность (каждый элемент из области значений является образом хотя бы одного элемента из области определения)
Возьмем произвольный элемент $y$ из множества $A$. По определению множества $A$, этот элемент имеет вид $y = \frac{1}{3k}$ для некоторого натурального числа $k \in \mathbb{N}$. Для этого $k$ значение нашей функции будет $f(k) = \frac{1}{3k} = y$. Это означает, что для любого элемента $y \in A$ существует прообраз $k \in \mathbb{N}$. Это доказывает сюръективность функции $f$.

Поскольку функция $f$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Наличие биекции между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством $A$ доказывает, что множество $A$ счётно.

Ответ: Существование биекции $f(k) = \frac{1}{3k}$ между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством чисел вида $\frac{1}{3k}$ доказывает, что данное множество счётно.