Номер 1, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Множества. Высказывания и предикаты

1. Какие из приведённых утверждений являются верными:

1) $8 \subset \{2, 8\}$;

2) $\{\emptyset\} \subset \{2, 8\}$;

3) $\{2\} \subset \{2, 8\}$;

4) $\emptyset \subset \{2, 8\}$.

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какие из них являются верными. Обозначим исходное множество как $A = \{2, 8\}$.

1) $8 \subset \{2, 8\}$
Это утверждение неверно. Знак $\subset$ обозначает отношение «быть подмножеством». Это отношение определено между двумя множествами. В левой части выражения стоит число 8, которое является элементом, а не множеством. Отношение принадлежности элемента множеству обозначается знаком $\in$. Утверждение $8 \in \{2, 8\}$ было бы верным, так как 8 — это элемент множества $\{2, 8\}$. Однако, записанное утверждение $8 \subset \{2, 8\}$ некорректно с точки зрения теории множеств и, следовательно, является ложным.
Ответ: утверждение неверно.

2) $\{\emptyset\} \subset \{2, 8\}$
Это утверждение неверно. Оно утверждает, что множество, состоящее из одного элемента — пустого множества $(\emptyset)$, является подмножеством множества $\{2, 8\}$. Для того чтобы это было истиной, каждый элемент левого множества должен быть также элементом правого множества. Единственный элемент множества $\{\emptyset\}$ — это само пустое множество $\emptyset$. Однако, элементами множества $\{2, 8\}$ являются только числа 2 и 8. Поскольку $\emptyset$ не является ни числом 2, ни числом 8, оно не входит в состав множества $\{2, 8\}$. Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверно.

3) $\{2\} \subset \{2, 8\}$
Это утверждение верно. Оно гласит, что множество, состоящее из одного элемента 2, является подмножеством множества $\{2, 8\}$. По определению, множество $B$ является подмножеством множества $A$, если каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $A$. В данном случае, единственный элемент множества $\{2\}$ — это число 2. Число 2 также является элементом множества $\{2, 8\}$. Таким образом, условие выполняется.
Ответ: утверждение верно.

4) $\emptyset \subset \{2, 8\}$
Это утверждение верно. Пустое множество, обозначаемое как $\emptyset$, по определению является подмножеством любого множества. Это следует из формального определения подмножества: для того чтобы множество $B$ было подмножеством $A$, не должно существовать ни одного элемента в $B$, который не принадлежит $A$. Поскольку в пустом множестве нет элементов, это условие всегда выполняется.
Ответ: утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 3 и 4.