Номер 5, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство $\sqrt{1-5x} < x+1$.

Данное неравенство $\sqrt{1 - 5x} < x + 1$ является иррациональным неравенством вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$. Такое неравенство равносильно системе, которая включает в себя область допустимых значений, условие положительности правой части и результат возведения в квадрат обеих частей неравенства:

$ \begin{cases} 1 - 5x \ge 0 \\ x + 1 > 0 \\ 1 - 5x < (x + 1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$1 - 5x \ge 0$
$-5x \ge -1$
$x \le \frac{1}{5}$

2) Правая часть неравенства должна быть строго положительной, так как значение квадратного корня всегда неотрицательно:
$x + 1 > 0$
$x > -1$

3) Поскольку при выполнении условия (2) обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{1 - 5x})^2 < (x + 1)^2$
$1 - 5x < x^2 + 2x + 1$
$0 < x^2 + 2x + 1 - 1 + 5x$
$x^2 + 7x > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдём корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x = 0$:
$x(x + 7) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -7$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 7x$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 7x > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть $x < -7$ или $x > 0$.

Теперь необходимо найти общее решение для всех трех условий, то есть пересечение множеств решений:
$ \begin{cases} x \le \frac{1}{5} \\ x > -1 \\ x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) \end{cases} $
Из первых двух неравенств получаем: $-1 < x \le \frac{1}{5}$.
Теперь пересечем этот результат, интервал $(-1; \frac{1}{5}]$, с решением третьего неравенства, множеством $(-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.
Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(-\infty; -7)$ является пустым множеством.
Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(0; +\infty)$ дает интервал $(0; \frac{1}{5}]$.
Объединение этих результатов дает окончательное решение неравенства.

Ответ: $(0; \frac{1}{5}]$