Номер 2, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8}}$

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8}}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, то есть $x^2 - 6x + 8 \ne 0$.

Решим неравенство $\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8} \ge 0$ методом интервалов. Это решение будет учитывать оба условия.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

Приравняем числитель к нулю: $9 - x^2 = 0$.
$(3 - x)(3 + x) = 0$.
Корни числителя: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки войдут в область определения.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые нужно исключить из области определения:
$x^2 - 6x + 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_3 = 2$, $x_4 = 4$. Эти точки не входят в область определения, так как в них знаменатель обращается в ноль.

2. Определим знаки выражения на интервалах.

Нанесём найденные точки на числовую ось, причём точки $x = -3$ и $x = 3$ будут закрашенными, а точки $x = 2$ и $x = 4$ — выколотыми. Ось разобьётся на пять интервалов: $(-\infty; -3]$, $[-3; 2)$, $(2; 3]$, $[3; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{(3 - x)(3 + x)}{(x - 2)(x - 4)}$ в каждом интервале:

• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{(3-5)(3+5)}{(5-2)(5-4)} = \frac{(-)(+)}{(+)(+)} = -$.
• При $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$: $\frac{(3-3.5)(3+3.5)}{(3.5-2)(3.5-4)} = \frac{(-)(+)}{(+)(-)} = +$.
• При $x \in (2; 3)$, например $x=2.5$: $\frac{(3-2.5)(3+2.5)}{(2.5-2)(2.5-4)} = \frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$.
• При $x \in (-3; 2)$, например $x=0$: $\frac{(3-0)(3+0)}{(0-2)(0-4)} = \frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$.
• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{(3-(-4))(3+(-4))}{(-4-2)(-4-4)} = \frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$.

3. Сформируем итоговый ответ.

Мы ищем значения $x$, при которых выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», а также точки, где числитель равен нулю. Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $[-3; 2)$ и $[3; 4)$.

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup [3; 4)$.