Номер 6, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 6x^2$ и постройте её график.

Для исследования функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ и построения ее графика выполним следующие шаги:

1. Область определения функции

Функция $f(x) = x^3 - 6x^2$ является многочленом (полиномом). Многочлены определены для всех действительных значений $x$.

Ответ: Область определения функции – все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность

Исследуем функцию на четность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 = -x^3 - 6x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) \neq f(x)$, так как $-x^3 - 6x^2 \neq x^3 - 6x^2$.

$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-x^3 - 6x^2 \neq -(x^3 - 6x^2) = -x^3 + 6x^2$.

Так как условия четности $f(-x) = f(x)$ и нечетности $f(-x) = -f(x)$ не выполняются, функция является функцией общего вида. Функция не является периодической, так как это многочлен.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (Ox), для этого приравняем функцию к нулю $f(x)=0$:

$x^3 - 6x^2 = 0$

$x^2(x - 6) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

$f_{max} = f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$. Точка максимума $(0, 0)$.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$f_{min} = f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 = 64 - 96 = -32$. Точка минимума $(4, -32)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$. Функция убывает на промежутке $[0, 4]$. Точка локального максимума: $(0, 0)$. Точка локального минимума: $(4, -32)$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (3x^2 - 12x)' = 6x - 12$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$6x - 12 = 0$

$x = 2$.

Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, 2)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
• При $x \in (2, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз.

В точке $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.

Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 = 8 - 24 = -16$.

Точка перегиба: $(2, -16)$.

Ответ: График функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty, 2]$ и выпуклый вниз на промежутке $[2, +\infty)$. Точка перегиба: $(2, -16)$.

6. Асимптоты графика функции

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 6x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 6x) = \infty$.

Так как предел не является конечным числом, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу:

Опорные точки для построения графика:

• Пересечение с осями: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
• Точка максимума: $(0, 0)$.
• Точка минимума: $(4, -32)$.
• Точка перегиба: $(2, -16)$.

Используя эти точки и информацию о поведении функции, строим график. График выходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(0, 0)$, затем убывает, проходя через точку перегиба $(2, -16)$, до точки минимума $(4, -32)$, после чего снова возрастает, пересекая ось Ox в точке $(6, 0)$ и уходя в $+\infty$.

Ответ: График построен на основе проведенного исследования. Ключевые точки: $(0, 0)$ - локальный максимум и пересечение с осями; $(6, 0)$ - пересечение с осью Ox; $(4, -32)$ - локальный минимум; $(2, -16)$ - точка перегиба.