Номер 4, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$ и постройте её график.

Для исследования функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ и построения её графика выполним следующие шаги:

Функция $f(x) = x^3 - 3x^2$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Проверим функцию на четность, найдя $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x) = -(x^3 - 3x^2) = -x^3 + 3x^2$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Функция не является периодической.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

С осью ординат (Oy): для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

С осью абсцисс (Ox): для этого решим уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Вертикальные асимптоты: так как функция определена на всей числовой прямой и непрерывна, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальные и наклонные асимптоты: исследуем поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - \frac{3}{x}) = +\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 - \frac{3}{x}) = -\infty$.

Поскольку пределы не являются конечными числами, горизонтальные асимптоты отсутствуют. Для наклонной асимптоты $y=kx+b$ найдем $k$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3x) = +\infty$.

Так как предел для $k$ бесконечен, наклонные асимптоты также отсутствуют.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения:

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $f_{max} = f(0) = 0$. Точка максимума: $(0; 0)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $f_{min} = f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$. Точка минимума: $(2; -4)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$ и убывает на $[0; 2]$. Точка максимума $(0; 0)$, точка минимума $(2; -4)$.

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $6x - 6 = 0 \implies x = 1$.

Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$:

• При $x \in (-\infty; 1)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
• При $x \in (1; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз.

Поскольку в точке $x=1$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдем её координаты: $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 = 1 - 3 = -2$. Точка перегиба: $(1; -2)$.

Ответ: График функции является выпуклым вверх на $(-\infty; 1)$ и выпуклым вниз на $(1; +\infty)$. Точка перегиба $(1; -2)$.

На основе проведенного анализа отметим ключевые точки и построим эскиз графика функции.

Ключевые точки:

• Пересечение с осями: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.
• Точка максимума: $(0; 0)$.
• Точка минимума: $(2; -4)$.
• Точка перегиба: $(1; -2)$.

График функции $f(x) = x^3 - 3x^2$:

Ответ: График функции построен.