gdz.top
Номер 6, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-10758-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Производная. Уравнение касательной - номер 6, страница 113.
№5
№6 (с. 113)
Условие. №6 (с. 113)
6. В какой точке графика функции $y = \frac{1}{x-1}$ надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами $(3; 0)$?
Решение. №6 (с. 113)
Для решения задачи найдем уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = \frac{1}{x-1}$ в некоторой точке $M(x_0; y_0)$.
Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \frac{1}{x_0 - 1}$.
2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x-1}\right)' = \left((x-1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{(x-1)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = -\frac{1}{(x_0 - 1)^2}$.
4. Подставим найденные значения в общее уравнение касательной:
$y = \frac{1}{x_0 - 1} - \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0)$.
По условию задачи, касательная должна проходить через точку с координатами $(3; 0)$. Это означает, что при подстановке $x = 3$ и $y = 0$ в уравнение касательной мы должны получить верное равенство. Подставим эти значения:
$0 = \frac{1}{x_0 - 1} - \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(3 - x_0)$.
Теперь решим это уравнение относительно $x_0$. Заметим, что $x_0 \neq 1$.
$\frac{1}{(x_0 - 1)^2}(3 - x_0) = \frac{1}{x_0 - 1}$.
Умножим обе части уравнения на $(x_0 - 1)^2$:
$3 - x_0 = x_0 - 1$.
$4 = 2x_0$.
$x_0 = 2$.
Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = f(x_0) = \frac{1}{2 - 1} = 1$.
Следовательно, искомая точка на графике функции, в которой нужно провести касательную, имеет координаты $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 113 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 113), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.