Номер 3, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Вычислите $\arccos(\cos12)$.

По определению, значение $arccos(y)$ — это угол $α$, который принадлежит промежутку $[0; π]$, и косинус которого равен $y$.

Формально это можно записать так: $α = arccos(y) \iff \cos(α) = y$ и $0 \le α \le π$.

В нашем случае необходимо найти $arccos(\cos(12))$. Если бы число 12 принадлежало промежутку $[0; π]$, то ответ был бы 12. Однако, используя приближенное значение $π \approx 3,14$, мы видим, что отрезок $[0; π]$ примерно равен $[0; 3,14]$. Число 12 в этот отрезок не входит.

Следовательно, нам нужно найти такое число $α$, что выполняются два условия:
1) $\cos(α) = \cos(12)$
2) $0 \le α \le π$

Для нахождения такого $α$ воспользуемся свойствами функции косинус:
- Четность: $\cos(x) = \cos(-x)$
- Периодичность: $\cos(x) = \cos(x + 2πn)$, где $n$ — любое целое число.

Из этих свойств следует, что все углы, имеющие такой же косинус, как и у угла 12, можно найти по формулам:
$α = 12 + 2πn$ или $α = -12 + 2πn$.

Теперь нам нужно подобрать такое целое число $n$, чтобы значение $α$ попало в отрезок $[0; π]$.

1. Проверим первую серию решений: $α = 12 + 2πn$
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $0 \le 12 + 2πn \le π$.
$-12 \le 2πn \le π - 12$
$\frac{-12}{2π} \le n \le \frac{π - 12}{2π}$
$-\frac{6}{π} \le n \le \frac{1}{2} - \frac{6}{π}$
Так как $π \approx 3,14$, то $6/π \approx 1,91$.
$-1,91 \le n \le 0,5 - 1,91$
$-1,91 \le n \le -1,41$
В этом промежутке нет целых чисел $n$, поэтому в этой серии решений нет подходящего угла $α$.

2. Проверим вторую серию решений: $α = -12 + 2πn$
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $0 \le -12 + 2πn \le π$.
$12 \le 2πn \le π + 12$
$\frac{12}{2π} \le n \le \frac{π + 12}{2π}$
$\frac{6}{π} \le n \le \frac{1}{2} + \frac{6}{π}$
Используя $6/π \approx 1,91$:
$1,91 \le n \le 0,5 + 1,91$
$1,91 \le n \le 2,41$
Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, это $n = 2$.

Подставим $n=2$ в формулу $α = -12 + 2πn$:
$α = -12 + 2π(2) = 4π - 12$.

Проверим, действительно ли значение $4π - 12$ принадлежит отрезку $[0; π]$:
$4π - 12 \approx 4 \cdot 3,1416 - 12 = 12,5664 - 12 = 0,5664$.
Так как $0 \le 0,5664 \le 3,1416$, то значение $4π - 12$ действительно находится в нужном промежутке.

Таким образом, $arccos(cos(12)) = 4π - 12$.

Ответ: $4π - 12$