Номер 2, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $ \text{ctg} \left( 7x + \frac{2\pi}{3} \right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}; $

2) $ \sin x(\text{tg} x - 1) > 0. $

1)

Решим неравенство $ctg\left(7x + \frac{2\pi}{3}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда неравенство примет вид:

$ctg(t) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция котангенс $y = ctg(t)$ является убывающей на всей области определения. Её период равен $\pi$.

Найдем значение арккотангенса от правой части неравенства:

$arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

Решение неравенства вида $ctg(t) > a$ находится в интервале $\pi n < t < arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставив наше значение, получим:

$\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 7x + \frac{2\pi}{3}$:

$\pi n < 7x + \frac{2\pi}{3} < \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей двойного неравенства:

$\pi n - \frac{2\pi}{3} < 7x < \pi n$.

Разделим все части неравенства на 7:

$\frac{\pi n}{7} - \frac{2\pi}{21} < x < \frac{\pi n}{7}$.

Таким образом, решение неравенства представляет собой объединение интервалов.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi n}{7} - \frac{2\pi}{21}; \frac{\pi n}{7}\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin x(\tg x - 1) > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим задачу методом интервалов на тригонометрической окружности. Найдем нули и точки разрыва функции $f(x) = \sin x(\tg x - 1)$ на промежутке $[0, 2\pi)$.

Нули функции находим из уравнений $\sin x = 0$ и $\tg x - 1 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = 0$ и $x = \pi$. Из второго ($\tg x = 1$) получаем $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

Точки разрыва (где $\tg x$ не определен) соответствуют условию $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

Отметим эти точки на единичной окружности. Они разбивают окружность на интервалы. Определим знак выражения $f(x)$ на каждом из них:
- На интервале $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$: $\sin x > 0$, $\tg x < 1 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(+)(-) < 0$.
- На интервале $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$: $\sin x > 0$, $\tg x > 1 \implies \tg x - 1 > 0$. Произведение $(+)(+) > 0$. Интервал подходит.
- На интервале $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$: $\sin x > 0$, $\tg x < 0 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(+)(-) < 0$.
- На интервале $\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$: $\sin x < 0$, $0 < \tg x < 1 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(-)(-) > 0$. Интервал подходит.
- На интервале $\left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)$: $\sin x < 0$, $\tg x > 1 \implies \tg x - 1 > 0$. Произведение $(-)(+) < 0$.
- На интервале $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$: $\sin x < 0$, $\tg x < 0 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(-)(-) > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, на промежутке $[0, 2\pi)$ решениями являются интервалы $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$, $\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$ и $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$.

Учитывая периодичность тригонометрических функций (общий период $2\pi$), записываем общее решение:

$x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.