Номер 1, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Тригонометрические уравнения и неравенства

1. Решите уравнение:

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$;

2) $3\sin^2 3x - 2.5\sin 6x + 1 = 0$;

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$;

4) $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$;

5) $\sin 6x + \sqrt{3}\cos 6x = -2\cos 8x$.

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(1 - \sin^2 x) + 4\sin x - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - 4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0$

$-4\sin^2 x + 4\sin x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$4t^2 - 4t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Первый корень $t_1 = \frac{3}{2} = 1.5$. Уравнение $\sin x = 1.5$ не имеет решений, так как $1.5 > 1$.

Второй корень $t_2 = -\frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет решения:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2 3x - 2,5\sin 6x + 1 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$.

Подставим в уравнение:

$3\sin^2 3x - 2,5(2\sin 3x \cos 3x) + 1 = 0$

$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + 1 = 0$

Заменим $1$ на $\sin^2 3x + \cos^2 3x$ согласно основному тригонометрическому тождеству:

$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + (\sin^2 3x + \cos^2 3x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + \cos^2 3x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $\cos 3x = 0$. Если $\cos 3x = 0$, то $\sin^2 3x = 1$. Подставив в уравнение, получим $4 \cdot 1 - 5 \cdot 0 + 0 = 0$, то есть $4=0$, что неверно. Значит, $\cos 3x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 3x$.

$\frac{4\sin^2 3x}{\cos^2 3x} - \frac{5\sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$

$4\tan^2 3x - 5\tan 3x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan 3x$:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5+3}{8} = 1$, $t_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tan 3x = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 3x = \frac{1}{4} \implies 3x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, x = \frac{1}{3}\arctan\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin 9x + \sin 7x) + \sin 8x = 0$

$2\sin\frac{9x+7x}{2}\cos\frac{9x-7x}{2} + \sin 8x = 0$

$2\sin 8x \cos x + \sin 8x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 8x$ за скобки:

$\sin 8x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $\sin 8x = 0 \implies 8x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}, x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$1 + \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq -1 \implies x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} = -2\cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} + 2\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x \left( \frac{\sin x}{1 + \sin x} + 1 \right) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. Если $n$ четное ($n=2k$), то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = 1$, что удовлетворяет ОДЗ. Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = -1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, из этой серии подходит только $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. $\frac{\sin x}{1 + \sin x} + 1 = 0$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin x + (1+\sin x)}{1 + \sin x} = 0 \implies \frac{2\sin x + 1}{1 + \sin x} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что уже учтено в ОДЗ).

$2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin 6x + \sqrt{3}\cos 6x = -2\cos 8x$

Преобразуем левую часть уравнения методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha+\varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае $a=1, b=\sqrt{3}$. Тогда $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем 2 за скобки в левой части:

$2\left(\frac{1}{2}\sin 6x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 6x\right) = -2\cos 8x$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$.

$2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin 6x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 6x\right) = -2\cos 8x$

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$:

$2\sin(6x + \frac{\pi}{3}) = -2\cos 8x$

Разделим обе части на 2:

$\sin(6x + \frac{\pi}{3}) = -\cos 8x$

Используем формулу приведения $-\cos \alpha = \sin(\alpha - \frac{\pi}{2})$:

$\sin(6x + \frac{\pi}{3}) = \sin(8x - \frac{\pi}{2})$

Уравнение вида $\sin A = \sin B$ равносильно совокупности двух систем:

$A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$.

1. $6x + \frac{\pi}{3} = 8x - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = 8x - 6x + 2\pi k$

$\frac{5\pi}{6} = 2x + 2\pi k$

$2x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi k$

$x = \frac{5\pi}{12} - \pi k$. Так как $k$ — любое целое число, можно заменить $-k$ на $k$: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $6x + \frac{\pi}{3} = \pi - (8x - \frac{\pi}{2}) + 2\pi n$

$6x + \frac{\pi}{3} = \pi - 8x + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$14x = \pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$14x = \frac{6\pi+3\pi-2\pi}{6} + 2\pi n$

$14x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{7\pi}{6 \cdot 14} + \frac{2\pi n}{14} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{7}, k, n \in \mathbb{Z}$.