Номер 1, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия

1. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos^2 6\alpha - 1}{1 - \sin^2 6\alpha} - \mathrm{tg}12\alpha \mathrm{ctg}12\alpha;$

2) $\frac{4 \cos^2 7\alpha}{\sin 14\alpha};$

3) $\frac{\sin 14\alpha - \sin 10\alpha}{\cos 3\alpha - \cos 7\alpha};$

4) $2 \cos 8\alpha \cos 9\alpha - \cos 17\alpha.$

1) Упростим выражение $\frac{\cos^2{6\alpha} - 1}{1 - \sin^2{6\alpha}} - \text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha$.

Для первой дроби используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$.

Из него следуют два равенства:

В числителе: $\cos^2{6\alpha} - 1 = -(1 - \cos^2{6\alpha}) = -\sin^2{6\alpha}$.

В знаменателе: $1 - \sin^2{6\alpha} = \cos^2{6\alpha}$.

Таким образом, первая дробь равна $\frac{-\sin^2{6\alpha}}{\cos^2{6\alpha}} = -(\frac{\sin{6\alpha}}{\cos{6\alpha}})^2 = -\text{tg}^2{6\alpha}$.

Для второго слагаемого используем тождество $\text{tg}{x} \cdot \text{ctg}{x} = 1$.

Следовательно, $\text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha = 1$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$-\text{tg}^2{6\alpha} - 1 = -( \text{tg}^2{6\alpha} + 1)$.

Используя еще одно тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$, получаем:

$-(\text{tg}^2{6\alpha} + 1) = -\frac{1}{\cos^2{6\alpha}}$.

Ответ: $-\frac{1}{\cos^2{6\alpha}}$.

2) Упростим выражение $\frac{4\cos^2{7\alpha}}{\sin{14\alpha}}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

Применим ее к знаменателю: $\sin{14\alpha} = \sin(2 \cdot 7\alpha) = 2\sin{7\alpha}\cos{7\alpha}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{4\cos^2{7\alpha}}{2\sin{7\alpha}\cos{7\alpha}}$.

Сократим дробь на $2\cos{7\alpha}$ (при условии, что $\cos{7\alpha} \neq 0$):

$\frac{2\cos{7\alpha}}{\sin{7\alpha}} = 2\text{ctg}{7\alpha}$.

Ответ: $2\text{ctg}{7\alpha}$.

3) Упростим выражение $\frac{\sin{14\alpha} - \sin{10\alpha}}{\cos{3\alpha} - \cos{7\alpha}}$.

Применим формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

Для числителя используем формулу разности синусов: $\sin{A} - \sin{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$.

$\sin{14\alpha} - \sin{10\alpha} = 2\cos{\frac{14\alpha+10\alpha}{2}}\sin{\frac{14\alpha-10\alpha}{2}} = 2\cos{12\alpha}\sin{2\alpha}$.

Для знаменателя используем формулу разности косинусов: $\cos{A} - \cos{B} = -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$.

$\cos{3\alpha} - \cos{7\alpha} = -2\sin{\frac{3\alpha+7\alpha}{2}}\sin{\frac{3\alpha-7\alpha}{2}} = -2\sin{5\alpha}\sin{(-2\alpha)}$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin{x}$), то $\sin(-2\alpha) = -\sin{2\alpha}$.

Знаменатель равен: $-2\sin{5\alpha}(-\sin{2\alpha}) = 2\sin{5\alpha}\sin{2\alpha}$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{2\cos{12\alpha}\sin{2\alpha}}{2\sin{5\alpha}\sin{2\alpha}}$.

Сократим дробь на $2\sin{2\alpha}$ (при условии, что $\sin{2\alpha} \neq 0$):

$\frac{\cos{12\alpha}}{\sin{5\alpha}}$.

Ответ: $\frac{\cos{12\alpha}}{\sin{5\alpha}}$.

4) Упростим выражение $2\cos{8\alpha}\cos{9\alpha} - \cos{17\alpha}$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $2\cos{A}\cos{B} = \cos(A-B) + \cos(A+B)$.

Применим ее к первому слагаемому, взяв $A=9\alpha$ и $B=8\alpha$:

$2\cos{9\alpha}\cos{8\alpha} = \cos(9\alpha-8\alpha) + \cos(9\alpha+8\alpha) = \cos\alpha + \cos{17\alpha}$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(\cos\alpha + \cos{17\alpha}) - \cos{17\alpha}$.

Упрощая, получаем:

$\cos\alpha + \cos{17\alpha} - \cos{17\alpha} = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.