Номер 5, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Упростите выражение $\sqrt{4 - 4\sin2\alpha} - \sqrt{2 + 2\cos2\alpha}$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Для упрощения данного выражения преобразуем каждое подкоренное выражение отдельно, используя тригонометрические формулы.

1. Упростим первое слагаемое: $\sqrt{4 - 4\sin(2\alpha)}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки под корнем:

$\sqrt{4(1 - \sin(2\alpha))} = 2\sqrt{1 - \sin(2\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$2\sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}$

Выражение под корнем является полным квадратом разности $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2$:

$2\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$2|\sin\alpha - \cos\alpha|$

2. Упростим второе слагаемое: $\sqrt{2 + 2\cos(2\alpha)}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки под корнем:

$\sqrt{2(1 + \cos(2\alpha))}$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$:

$\sqrt{2 \cdot 2\cos^2\alpha} = \sqrt{4\cos^2\alpha}$

Извлекая корень, получаем:

$2|\cos\alpha|$

3. Соберем выражение и учтем условие.

Исходное выражение принимает вид:

$2|\sin\alpha - \cos\alpha| - 2|\cos\alpha|$

По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это IV четверть координатной плоскости.

В IV четверти:

• $\sin\alpha < 0$ (синус отрицателен)
• $\cos\alpha > 0$ (косинус положителен)

Определим знаки выражений под модулями:

1. Для $|\cos\alpha|$: так как $\cos\alpha > 0$, то $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

2. Для $|\sin\alpha - \cos\alpha|$: мы вычитаем положительное число из отрицательного, результат будет отрицательным. То есть, $\sin\alpha - \cos\alpha < 0$. Следовательно, $|\sin\alpha - \cos\alpha| = -(\sin\alpha - \cos\alpha) = \cos\alpha - \sin\alpha$.

Подставим раскрытые модули в наше выражение:

$2(\cos\alpha - \sin\alpha) - 2(\cos\alpha)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\cos\alpha - 2\sin\alpha - 2\cos\alpha = -2\sin\alpha$

Ответ: $-2\sin\alpha$.