Номер 3, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Докажите тождество:

1) $ \text{tg } 8\alpha - \text{ctg } 8\alpha = -2 \text{ctg } 16\alpha; $

2) $ \text{ctg } 2\beta - \text{ctg } 4\beta = \frac{1}{\sin 4\beta}; $

3) $ \frac{\left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\alpha\right) - \sin(\pi + 3\alpha) \right) \left( \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3\alpha\right) - \cos(\pi + 5\alpha) \right)}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin 8\alpha. $

1)

Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

$\tg{8\alpha} - \ctg{8\alpha} = \frac{\sin{8\alpha}}{\cos{8\alpha}} - \frac{\cos{8\alpha}}{\sin{8\alpha}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin{8\alpha}\cos{8\alpha}$:

$\frac{\sin^2{8\alpha} - \cos^2{8\alpha}}{\sin{8\alpha}\cos{8\alpha}} = \frac{-(\cos^2{8\alpha} - \sin^2{8\alpha})}{\sin{8\alpha}\cos{8\alpha}}$

Используем формулы двойного угла: $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$ и $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ (отсюда $\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$).

$\frac{-\cos(2 \cdot 8\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 8\alpha)} = \frac{-\cos{16\alpha}}{\frac{1}{2}\sin{16\alpha}} = -2 \frac{\cos{16\alpha}}{\sin{16\alpha}}$

Так как $\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \ctg{x}$, получаем:

$-2\ctg{16\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\tg{8\alpha} - \ctg{8\alpha} = -2\ctg{16\alpha}$ доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества.

$\ctg{2\beta} - \ctg{4\beta} = \frac{\cos{2\beta}}{\sin{2\beta}} - \frac{\cos{4\beta}}{\sin{4\beta}}$

Приведем к общему знаменателю $\sin{2\beta}\sin{4\beta}$:

$\frac{\sin{4\beta}\cos{2\beta} - \cos{4\beta}\sin{2\beta}}{\sin{2\beta}\sin{4\beta}}$

В числителе используем формулу синуса разности углов $\sin(x-y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y}$:

$\frac{\sin(4\beta - 2\beta)}{\sin{2\beta}\sin{4\beta}} = \frac{\sin{2\beta}}{\sin{2\beta}\sin{4\beta}}$

Сокращаем дробь на $\sin{2\beta}$ (при условии, что $\sin{2\beta} \ne 0$):

$\frac{1}{\sin{4\beta}}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\ctg{2\beta} - \ctg{4\beta} = \frac{1}{\sin{4\beta}}$ доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражения в числителе и знаменателе, используя формулы приведения.

Для числителя:
$\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) = \sin{5\alpha}$
$\sin(\pi + 3\alpha) = -\sin{3\alpha}$
$\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) = \cos{3\alpha}$
$\cos(\pi + 5\alpha) = -\cos{5\alpha}$

Для знаменателя:
$\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{(\sin{5\alpha} - (-\sin{3\alpha}))(\cos{3\alpha} - (-\cos{5\alpha}))}{1 + \cos{2\alpha}} = \frac{(\sin{5\alpha} + \sin{3\alpha})(\cos{3\alpha} + \cos{5\alpha})}{1 + \cos{2\alpha}}$

Применим формулы преобразования суммы в произведение:
$\sin{x} + \sin{y} = 2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$
$\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$

Числитель примет вид:
$(2\sin{\frac{5\alpha+3\alpha}{2}}\cos{\frac{5\alpha-3\alpha}{2}})(2\cos{\frac{5\alpha+3\alpha}{2}}\cos{\frac{5\alpha-3\alpha}{2}})$
$= (2\sin{4\alpha}\cos{\alpha})(2\cos{4\alpha}\cos{\alpha}) = 4\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}\cos^2{\alpha}$

Преобразуем знаменатель по формуле понижения степени $1 + \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha}$:

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{4\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}\cos^2{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}}$

Сокращаем $2$ и $\cos^2{\alpha}$:

$2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$:

$2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha} = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin{8\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{(\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) - \sin(\pi + 3\alpha))(\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) - \cos(\pi + 5\alpha))}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin{8\alpha}$ доказано.