gdz.top
Номер 4, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-10758-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7. Тригонометрические уравнения и неравенства - номер 4, страница 112.
№3
№4 (с. 112)
Условие. №4 (с. 112)
4. При каких значениях параметра $ a $ уравнение $ \sin^2 x - (a + 3)\sin x + 2a + 2 = 0 $ имеет решения?
Решение. №4 (с. 112)
Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус – отрезок $[-1, 1]$, то для существования решений исходного уравнения необходимо, чтобы полученное квадратное уравнение имело хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $[-1, 1]$.
После замены получаем квадратное уравнение:
$t^2 - (a + 3)t + 2a + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = (-(a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 2) = a^2 + 6a + 9 - 8a - 8 = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$
Поскольку $D = (a - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем эти корни:
$t_{1,2} = \frac{a + 3 \pm \sqrt{(a - 1)^2}}{2} = \frac{a + 3 \pm (a - 1)}{2}$
Вычислим оба корня:
$t_1 = \frac{a + 3 + (a - 1)}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1$
$t_2 = \frac{a + 3 - (a - 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, корнями квадратного уравнения являются $t_1 = a + 1$ и $t_2 = 2$.
Исходное уравнение имеет решения, если хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Корень $t_2 = 2$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $2 > 1$. Следовательно, уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений.
Значит, исходное уравнение будет иметь решения только в том случае, если корень $t_1 = a + 1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это приводит к двойному неравенству:
$-1 \le a + 1 \le 1$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le a \le 1 - 1$
$-2 \le a \le 0$
Следовательно, уравнение имеет решения при $a \in [-2, 0]$.
Ответ: $a \in [-2, 0]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 112 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 112), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.