Номер 1, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8

Производная. Уравнение касательной

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4;$

2) $f(x) = (3x - 5)\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 + 9x}{x - 4};$

4) $f(x) = \sin^5 6x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4$ воспользуемся правилами дифференцирования суммы/разности функций и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных:

$f'(x) = (2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4)' = (2x^5)' - (\frac{x^3}{3})' + (3x^2)' - (4)'$

Теперь находим производную каждого слагаемого:

$(2x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$

$(\frac{x^3}{3})' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2$

$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

$(4)' = 0$ (производная константы равна нулю).

Собираем все вместе:

$f'(x) = 10x^4 - x^2 + 6x - 0 = 10x^4 - x^2 + 6x$

Ответ: $10x^4 - x^2 + 6x$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = (3x-5)\sqrt{x}$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x - 5$ и $v(x) = \sqrt{x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3x-5)' = 3$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3 \cdot \sqrt{x} + (3x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Упростим полученное выражение, приведя слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3x-5}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 3x - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{9x-5}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{9x-5}{2\sqrt{x}}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2+9x}{x-4}$ воспользуемся правилом производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^2+9x$ и $v(x) = x-4$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2+9x)' = 2x+9$

$v'(x) = (x-4)' = 1$

Теперь подставим все в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{(2x+9)(x-4) - (x^2+9x) \cdot 1}{(x-4)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(2x+9)(x-4) - (x^2+9x) = (2x^2 - 8x + 9x - 36) - x^2 - 9x = 2x^2 + x - 36 - x^2 - 9x = x^2 - 8x - 36$

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = \frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin^5 6x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).

Функцию можно представить в виде $f(x) = (\sin 6x)^5$. Это сложная функция, где внешняя функция — возведение в пятую степень, а внутренняя — $\sin 6x$, которая сама является сложной функцией.

Применим цепное правило $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

1. Производная внешней функции $(u^5)' = 5u^4$. Применительно к нашей функции: $5(\sin 6x)^4 = 5\sin^4 6x$.

2. Умножаем на производную внутренней функции $(\sin 6x)'$.

Производная $(\sin 6x)'$ также находится по цепному правилу: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$(\sin 6x)' = \cos 6x \cdot (6x)' = \cos 6x \cdot 6 = 6\cos 6x$.

3. Собираем все вместе:

$f'(x) = 5\sin^4 6x \cdot (6\cos 6x) = 30\sin^4 6x \cos 6x$

Ответ: $30\sin^4 6x \cos 6x$.