Номер 4, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Найдите значение выражения $\cos12^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ$.

Обозначим данное выражение буквой $A$:

$A = \cos12^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ$

Для решения этой задачи мы будем последовательно применять формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Чтобы использовать эту формулу, домножим и разделим исходное выражение на $2\sin12^\circ$ (это можно сделать, так как $\sin12^\circ \neq 0$):

$A = \frac{(2\sin12^\circ\cos12^\circ) \cdot \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2\sin12^\circ}$

В числителе выражение $2\sin12^\circ\cos12^\circ$ равно $\sin(2 \cdot 12^\circ) = \sin24^\circ$. Подставим это в нашу формулу:

$A = \frac{\sin24^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2\sin12^\circ}$

Теперь в числителе мы видим похожую конструкцию $\sin24^\circ\cos24^\circ$. Чтобы снова применить формулу двойного угла, умножим числитель и знаменатель на 2:

$A = \frac{2 \cdot \sin24^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2 \cdot 2\sin12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 24^\circ) \cos48^\circ \cos96^\circ}{4\sin12^\circ} = \frac{\sin48^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{4\sin12^\circ}$

Повторим эту операцию еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:

$A = \frac{2 \cdot \sin48^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2 \cdot 4\sin12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 48^\circ) \cos96^\circ}{8\sin12^\circ} = \frac{\sin96^\circ \cos96^\circ}{8\sin12^\circ}$

И в последний раз проделаем то же самое:

$A = \frac{2 \cdot \sin96^\circ \cos96^\circ}{2 \cdot 8\sin12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 96^\circ)}{16\sin12^\circ} = \frac{\sin192^\circ}{16\sin12^\circ}$

Теперь необходимо преобразовать $\sin192^\circ$, используя формулы приведения. Представим $192^\circ$ как $180^\circ + 12^\circ$.

$\sin192^\circ = \sin(180^\circ + 12^\circ) = -\sin12^\circ$

Подставим полученное значение обратно в выражение для $A$:

$A = \frac{-\sin12^\circ}{16\sin12^\circ}$

Сократим $\sin12^\circ$ в числителе и знаменателе:

$A = -\frac{1}{16}$

Ответ: $-\frac{1}{16}$