Номер 5, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Сравните значения выражений:

1) $sin \frac{16\pi}{15}$ и $sin \frac{17\pi}{16}$;

2) $ctg\left(-\frac{4\pi}{7}\right)$ и $ctg\left(-\frac{5\pi}{9}\right)$.

1) Сравнить $sin\frac{16\pi}{15}$ и $sin\frac{17\pi}{16}$.

Для начала определим, в каких координатных четвертях находятся углы. Представим аргументы в виде $\pi + \alpha$:
$\frac{16\pi}{15} = \frac{15\pi + \pi}{15} = \pi + \frac{\pi}{15}$
$\frac{17\pi}{16} = \frac{16\pi + \pi}{16} = \pi + \frac{\pi}{16}$

Оба угла больше $\pi$, но меньше $\frac{3\pi}{2}$, следовательно, они находятся в третьей координатной четверти. В третьей четверти функция $y = sin(x)$ является отрицательной и убывающей. Это значит, что большему значению угла соответствует меньшее значение синуса.

Теперь сравним сами углы. Нам нужно сравнить $\frac{16\pi}{15}$ и $\frac{17\pi}{16}$. Для этого сравним дроби $\frac{16}{15}$ и $\frac{17}{16}$: $\frac{16}{15} = 1 + \frac{1}{15}$, а $\frac{17}{16} = 1 + \frac{1}{16}$. Поскольку $15 < 16$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$. Следовательно, $1 + \frac{1}{15} > 1 + \frac{1}{16}$, что означает $\frac{16\pi}{15} > \frac{17\pi}{16}$.

Так как на рассматриваемом промежутке функция синуса убывает, то из того, что $\frac{16\pi}{15} > \frac{17\pi}{16}$, следует, что $sin(\frac{16\pi}{15}) < sin(\frac{17\pi}{16})$.

Ответ: $sin\frac{16\pi}{15} < sin\frac{17\pi}{16}$.

2) Сравнить $ctg(-\frac{4\pi}{7})$ и $ctg(-\frac{5\pi}{9})$.

Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Применим это свойство к нашим выражениям:
$ctg(-\frac{4\pi}{7}) = -ctg(\frac{4\pi}{7})$
$ctg(-\frac{5\pi}{9}) = -ctg(\frac{5\pi}{9})$

Теперь задача сводится к сравнению значений $-ctg(\frac{4\pi}{7})$ и $-ctg(\frac{5\pi}{9})$. Для этого сначала сравним $ctg(\frac{4\pi}{7})$ и $ctg(\frac{5\pi}{9})$.

Определим, в каких четвертях находятся углы $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$ (потому что $0.5 < 4/7 \approx 0.57 < 1$) и $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$ (потому что $0.5 < 5/9 \approx 0.56 < 1$), оба угла находятся во второй координатной четверти.

Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(0, \pi)$, куда входят оба угла. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение котангенса.

Сравним углы $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$. Для этого приведем дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{9}$ к общему знаменателю $63$:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{36}{63}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{35}{63}$

Поскольку $\frac{36}{63} > \frac{35}{63}$, то $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$. Так как функция котангенса на этом промежутке убывает, то из $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$ следует, что $ctg(\frac{4\pi}{7}) < ctg(\frac{5\pi}{9})$.

Теперь вернемся к исходным выражениям. Умножим обе части неравенства $ctg(\frac{4\pi}{7}) < ctg(\frac{5\pi}{9})$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-ctg(\frac{4\pi}{7}) > -ctg(\frac{5\pi}{9})$. Следовательно, $ctg(-\frac{4\pi}{7}) > ctg(-\frac{5\pi}{9})$.

Ответ: $ctg(-\frac{4\pi}{7}) > ctg(-\frac{5\pi}{9})$.