Номер 6, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $\text{tg}^2 x \cos^2 x - 3$.

Рассмотрим выражение $y = \text{tg}^2 x \cos^2 x - 3$.

Для нахождения его наибольшего и наименьшего значений, сначала упростим его. Используя тригонометрическое тождество $\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:
$y = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 \cdot \cos^2 x - 3 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x - 3$.

Исходное выражение содержит $\text{tg} x$, который определен только при $\cos x \neq 0$. Это условие является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. При выполнении этого условия мы можем сократить $\cos^2 x$:
$y = \sin^2 x - 3$.

Теперь найдем множество значений функции $y = \sin^2 x - 3$ с учетом ОДЗ.
Для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$.
Однако, из ОДЗ мы знаем, что $\cos x \neq 0$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что если $\cos x \neq 0$, то $\sin^2 x \neq 1$.
Таким образом, для нашего выражения множество значений для $\sin^2 x$ — это полуинтервал $[0, 1)$.

Наименьшее значение
Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем возможном значении $\sin^2 x$.
Наименьшее значение $\sin^2 x$ равно 0. Оно достигается, например, при $x = 0$. При этом $\cos 0 = 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно:
$y_{наим} = 0 - 3 = -3$.

Наибольшее значение
Наибольшее значение выражения соответствовало бы наибольшему значению $\sin^2 x$.
Мы установили, что $\sin^2 x < 1$. Это означает, что $\sin^2 x$ может принимать значения, сколь угодно близкие к 1, но никогда не равные 1.
Следовательно, значение выражения $y = \sin^2 x - 3$ будет стремиться к $1 - 3 = -2$, но никогда его не достигнет, то есть $y < -2$.
Таким образом, у данного выражения не существует наибольшего значения (максимума).

Ответ: Наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшего значения не существует.