Номер 7, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{1}{2} |\sin 3x|;$

2) $y = \sqrt{\sin 2x - 1} - 1.$

1) $f(x) = \frac{1}{2}\left|\sin3x\right|$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько этапов, преобразуя график базовой функции $y = \sin x$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Преобразуем его в график функции $y_2 = \sin(3x)$. Коэффициент 3 при аргументе $x$ означает сжатие графика по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Период функции уменьшится в 3 раза и станет равен $T_2 = \frac{2\pi}{3}$. Амплитуда останется равной 1.

3. Далее строим график функции $y_3 = |\sin(3x)|$. Модуль означает, что все части графика $y_2$, которые находятся ниже оси Ox (где значения функции отрицательны), симметрично отражаются относительно оси Ox вверх. В результате весь график будет находиться в верхней полуплоскости. Период функции уменьшится вдвое по сравнению с $y_2$ и станет равен $T_3 = \frac{T_2}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$. Максимальное значение по-прежнему 1, а минимальное теперь 0.

4. Последний шаг — построение искомого графика $f(x) = \frac{1}{2}|\sin(3x)|$. Коэффициент $\frac{1}{2}$ перед модулем означает сжатие графика $y_3$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Это значит, что все значения $y$ нужно умножить на $\frac{1}{2}$.

Итоговые свойства графика функции $f(x) = \frac{1}{2}|\sin3x|$:

• Функция периодическая с основным периодом $T = \frac{\pi}{3}$.

• Область значений (множество значений) функции: $E(f) = [0; \frac{1}{2}]$. Максимальное значение равно $\frac{1}{2}$, минимальное — 0.

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках, где $\sin(3x) = 0$, то есть $3x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Максимумы функции достигаются в точках, где $|\sin(3x)| = 1$, то есть $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

График представляет собой последовательность одинаковых "арок", расположенных на оси Ox, с высотой $\frac{1}{2}$ и периодом $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{2}|\sin3x|$ получается из графика синуса путем сжатия по оси Ox в 3 раза, отражения отрицательной части относительно оси Ox и последующего сжатия по оси Oy в 2 раза. Это периодическая функция с периодом $\frac{\pi}{3}$ и областью значений $[0; \frac{1}{2}]$.

2) $y = \sqrt{\sin2x - 1} - 1$

Для построения графика этой функции сначала найдем ее область определения (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\sin(2x) - 1 \ge 0$

Перенеся единицу в правую часть, получаем неравенство:

$\sin(2x) \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что значение $\sin(2x)$ не может быть больше 1. Следовательно, единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это когда $\sin(2x)$ равен своему максимальному значению, то есть 1.

$\sin(2x) = 1$

Решим это тригонометрическое уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z - множество целых чисел).

Разделив обе части на 2, найдем $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции — это не сплошной промежуток, а дискретное множество точек на числовой прямой.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Подставим значение $\sin(2x) = 1$ в исходную формулу:

$y = \sqrt{1 - 1} - 1 = \sqrt{0} - 1 = 0 - 1 = -1$.

Это означает, что для любого допустимого значения $x$ из области определения, значение функции $y$ всегда будет равно -1.

Следовательно, график данной функции состоит из множества изолированных точек, лежащих на прямой $y=-1$. Координаты этих точек:

$(\frac{\pi}{4} + \pi k, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Например, при $k=0$ точка имеет координаты $(\frac{\pi}{4}, -1)$, при $k=1$ — $(\frac{5\pi}{4}, -1)$, при $k=-1$ — $(-\frac{3\pi}{4}, -1)$ и так далее.

Ответ: График функции представляет собой бесконечное множество изолированных точек с координатами $(\frac{\pi}{4} + \pi k, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Все эти точки лежат на горизонтальной прямой $y=-1$.