Номер 4, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение:

1) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} = 2x - 2;$

2) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2;$

3) $\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x} = 2.$

1) Исходное уравнение: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} = 2x - 2$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. $x^2 - 5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

Преобразуем уравнение, вынеся 2 за скобки в правой части: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} = 2(x - 1)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} - 2(x - 1) = 0$

$(x - 1)(\sqrt{x^2 - 5} - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \notin (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$, поэтому он является посторонним.

2. $\sqrt{x^2 - 5} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5} = 2$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 - 5 = 4 \implies x^2 = 9$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Оба корня, $x = 3$ и $x = -3$, удовлетворяют ОДЗ. Проверим их, подставив в исходное уравнение:

При $x=3$: $(3-1)\sqrt{3^2-5} = 2\sqrt{9-5} = 2\sqrt{4}=4$. Правая часть: $2(3)-2=4$. Равенство $4=4$ верно.

При $x=-3$: $(-3-1)\sqrt{(-3)^2-5} = -4\sqrt{9-5} = -4\sqrt{4}=-8$. Правая часть: $2(-3)-2=-8$. Равенство $-8=-8$ верно.

Ответ: $-3; 3$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Уединим один из корней, перенеся $\sqrt{x - 2}$ в правую часть:

$\sqrt{x + 6} = 2 + \sqrt{x - 2}$

Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 2$, можно возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x + 6})^2 = (2 + \sqrt{x - 2})^2$

$x + 6 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + (x - 2)$

$x + 6 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2}$

Приведем подобные члены:

$6 - 2 = 4\sqrt{x - 2}$

$4 = 4\sqrt{x - 2}$

$1 = \sqrt{x - 2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 2})^2$

$1 = x - 2 \implies x = 3$.

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge 2$). Проверка: $\sqrt{3+6}-\sqrt{3-2} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1=2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $3$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x} = 2$.

ОДЗ для кубических корней - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу суммы кубов $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{1 - x})^3 + (\sqrt[3]{1 + x})^3 + 3\sqrt[3]{(1 - x)(1 + x)}(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x}) = 2^3$

$(1 - x) + (1 + x) + 3\sqrt[3]{1 - x^2}(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x}) = 8$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt[3]{1 + x})$ по условию исходного уравнения равно $2$. Подставим это значение:

$2 + 3\sqrt[3]{1 - x^2} \cdot 2 = 8$

$2 + 6\sqrt[3]{1 - x^2} = 8$

$6\sqrt[3]{1 - x^2} = 6$

$\sqrt[3]{1 - x^2} = 1$

Возведем обе части в куб еще раз:

$1 - x^2 = 1^3$

$1 - x^2 = 1$

$-x^2 = 0 \implies x = 0$.

Проверка: $\sqrt[3]{1-0} + \sqrt[3]{1+0} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = 1+1=2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $0$.